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1、第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间11 定义与基本性质定义与基本性质一、向量的内积一、向量的内积定义定义 1 设是实数域上一个向量空间,在上定义了一个二元实函数，称VRV为内积,记作,它具有以下性质:),(1) ; ),(),(2) ;),(),(kk3) ;),(),(),(4) ,当且仅当时, 0),(00),(这里是任意的向量,是任意实数,这样的线性空间称为欧几里得空间欧几里得空间.,VkV例例 1 在线性空间中,对于向量nR,),(,),(2121nnbbbaaaLL定义内积(1).),(2211nnbababaL则内积(1)适合定义中的条件，这样就成为一个欧几里得空间.仍用来表示
2、这nR个欧几里得空间.在时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达3n式.例例 2 在里, 对于向量nR,),(,),(2121nnbbbaaaLL定义内积.2),(2211nnbnababaL则内积(1)适合定义中的条件，这样就也成为一个欧几里得空间.仍用来nR表示这个欧几里得空间.,对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.例例 3 在闭区间上的所有实连续函数所成的空间中,对于函数,ba),(baC定义内积)(),(xgxf. (2)badxxgxfxgxf)()()(),(对于内积(2)，构成一个欧几里得空间.),(baC同样地，线性空间对于内积(2
3、)也构成欧几里得空间.nxRxR,例例 4 令是一切平方和收敛的实数列H12 21),(nnnxxxxL所成的集合,则是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.H二、欧几里得空间的基本性质二、欧几里得空间的基本性质1）定义中条件 1）表明内积是对称的. ),(),(),(),()2kkkk),(),(),(),(),(),()3定义定义 2 非负实数称为向量的长度，记为.),(显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：(3)| kk这里.VRk,长度为 1 的向量叫做单位向量单位向量.如果,由(3)式，向量01就是一个单位向量.用向量的
4、长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把单位化.柯西柯西-布涅柯夫斯基不等式布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量有,(5),(当且仅当线性相关时，等式才成立.,对于例 1 的空间，(5)式就是nR.22 22 122 22 12211nnnnbbbaaabababaLLL对于例 2 的空间，(5)式就是),(baC212212)()()()(bababadxxgdxxfdxxgxf定义定义 3 非零向量的夹角规定为,0,),(arccos,根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式.定义定义 4 如果向量的内积为零，即,0),(那么称为正交或互相垂直，记为.,两个非零向量正交的充
5、要条件是它们的夹角为.2只有零向量才与自己正交.勾股定理勾股定理：当正交时，,.222推广推广：如果向量两两两正交，那么m,21L.22 22 12 21mmLL设是一个维欧几里得空间，在中取一组基，对于中任VnVn,21LV意两个向量,nnxxxL2211nnyyyL2211由内积的性质得 ninjjijinnnnyxyyyxxx1122112211),(,),(LL令(8),2,1,(),(njiajiijL显然.jiijaa 于是(9) ninjjiijyxa11),(利用矩阵，还可以写成),(, (10)AYX),(其中nnyyyYxxxXMM2121,分别是的坐标，而矩阵,nnija
6、A)(称为基的度量矩阵.上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之n,21L后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10）来计算，因而度量矩阵完全确定了内积.设是空间的另外一组基，而由到的过n,21LVn,21Ln,21L渡矩阵为，即CCnn),(),(2121LL于是不难算出，基的度量矩阵n,21L. (11) ACCbBjiij,这就是说，不同基的度量矩阵是合同的.根据条件(4)，对于非零向量，即000MX有0),(AXX因此，度量矩阵是正定的.反之，给定一个级正定矩阵及维实线性空间的一组基.nAnVn,21L可以规定上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的度量矩阵是Vn,21L.A
7、欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间.欧几里得空间以下简称为欧氏空间欧氏空间.22 正交基正交基一、标准正交基一、标准正交基定义定义 5 欧氏空间的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交正交V向量组向量组.按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组. 正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在维欧氏空间中，两两正交的n非零向量不能超过个.n定义定义 6 在维欧氏空间中，由个向量组成的正交向量组称为正交基；由nn单位向量组成的正交基称为标准正交基组标准正交基组.对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基.设是一组标准正交基，由定义，有n,21L(1) .,
8、0;,1),(jijiji当当显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在维欧氏空间n中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在维欧氏空间中，标准n正交基是存在的.在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即. (2)nn),(),(),(2211L在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设.2211nnxxxL.2211nnyyyL那么(3).),(2211YXyxyxyxnnL这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系
9、中坐标表达式的推广.应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了，所有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位.二、规范正交基的存在性及其正交化方法二、规范正交基的存在性及其正交化方法定理定理 1 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基.n应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基.再单位化，就得到一组标准正交基.定理定理 2 对于维欧氏空间中任意一组基，都可以找到一组标准nn,21L正交基，使n,21L),(21iLL.,2,1,),(21niLiLL应该指
10、出，定理中的要求),(21iLL.,2,1,),(21niLiLL就相当于由基到基的过渡矩阵是上三角形的.n,21Ln,21L定理定理 2 中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特（Schimidt）正交化过程.例例 1 ) 1 , 1, 1, 1 (),1 , 0 , 0 , 1(),0 , 1 , 0 , 1 (),0 , 0 , 1 , 1 (4321变成单位正交组.三、正交矩阵三、正交矩阵上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式.设与是欧氏空间中的两组标准正交基
11、，它们之间n,21Ln,21LV的过渡矩阵是，即)(ijaA ),(21nLnnnnnnnaaaaaaaaaLMMMLLL21222211121121),(因为是标准正交基，所以n,21L(4) .,0;,1),(jijiji当当矩阵的各列就是在标准正交基下的坐标.按公式(3),(4)An,21Ln,21L式可以表示为(5) .,0;,12211jijiaaaaaanjnijiji当当L(5)式相当于一个矩阵的等式(6)EAA或者AA1定义定义 7 组实数矩阵称为正交矩阵，如果nAEAA由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么
12、第二组基一定也是标准正交基.最后指出，根据逆矩阵的性质，由EAA即得EAA写出来就是(7) .,0;,12211jijiaaaaaajninjiji当当L(5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与行之间的关系.这两组关系是等价的.例例 2 考虑定义在闭区间上一切连续函数所作成的欧氏空间.2,02,0C函数组.,sin,cos,sin,cos, 1LLnxnxxx构成的一个正交组.2,0C把上面的每一向量除以它的长度,就得到的一个标准正交组:2,0C.,sin1,cos1,sin1,cos1,21LLnxnxxx例例 3 3 欧氏空间的基nR,）（0 , 0 ,1, 0 , 0(LLii
13、ni,2, 1L是的一个标准正交基.nR3 同构同构定义定义 8 实数域上欧氏空间与称为同构的同构的,如果由到有一个双射RVVVV，满足1), )()()(2),)()(kk3),),()(),(这里，这样的映射称为到的同构映射.RkV,VV由定义，如果是欧氏空间到的一个同构映射，那么也是到作为VVVV线性空间的同构映射.因此，同构的欧氏空间必有相同的维数.设是一个维欧氏空间，在中取一组标准正交基，在这组VnVn,21L基下，的每个向量都可表成VnnxxxL2211令n nRxxx),()(21L就是到的一个双射，并且适合定义中条件 1),2).上一节(3)式说明，也适VnR合条件 3)，因而是到的一个同构映射，由此可知，每个维的欧氏空间VnRn都与同构.nR同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性.既然每个维欧氏空间都与同构，按对称性与传递性得，任意两个维nnRn欧氏空间都同构.定理定理 3 两个有限维欧氏空间同构它们的维数相等.这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定.4 正交变换正交变换定义定义 9 欧氏空间的线性变换 A 叫做一个正交变换,如果它保持向量的内积V不变，即对任意的，都有,都有.V,(A,A)=.),(正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画.定理定理 4 4 设 A 是维欧氏空间
