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1、第十三讲第十三讲 226 6 换面法换面法课课 题：题：1、换面法的概念2、点的投影变换3、直线的投影变换4、平面的投影变换5、换面法投影变换应用举例课堂类型：课堂类型：讲授教学目的：教学目的：1、讲解换面法的投影变换规律2、讲解换面法的四个基本作图方法教学要求：教学要求：1、理解并熟练掌握一次换面、二次换面中点的投影的作图规律2、掌握换面法的四个基本作图方法，并能够应用于解题实践教学重点：教学重点：换面法的四个基本作图方法教学难点教学难点：新投影面、新投影轴的选择和投影的返回（换面法的反向作图）教教 具：具：挂图：“将一般位置直线变换成投影面平行线” ；“将一般位置直线变换成投影面垂直线”
2、；“将一般位置平面变换成投影面垂直面” ；“将一般位置平面变换成投影面平行面” 。教学方法：教学方法：理论讲解和实际演示作图相结合。教学过程：教学过程：一、复习旧课结合作业中的问题，说明在平面上取点、取直线、取投影面平行线的作图方法。二、引入新课题在解决工程实际问题时，经常遇到求解度量问题，如实长、实形、距离、夹角等，或 者求解定位问题，如交点、交线等。通过对直线或平面的投影分析可知，当直线或平 面对投影面处于一般位置时，在投影图上不能直接反映它们的实长、实形、距离、夹 角等；当直线或平面对投影面处于特殊位置时，在投影图上就可以直接得到它们的实 长、实形、距离、夹角等。换面法就是研究如何改变空
3、间几何元素对投影面的相对位 置，以达到简化解题的目的。三、教学内容（一）换面法的概念1、概念空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面代替原来的投影面，使几何元素在 新投影面上的投影对于解题最为简便，这种方法 称为变换投影面法，简称换面法。2、举例如图 249 所示为一处于铅垂位置的三角形平面 在 VH 体系中不反映实形，现作一个与 H 面 垂直的新投影面 V1平行于三角形平面，组成新 的投影面体系 V1H，再将三角形平面向 V1 面 进行投影，这时三角形平面在 V1面上的投影就 反映该平面的实形。 图图 249 换面法的原理换面法的原理（二）点的投影变换点是最基本的几何元素，因此必须首先研究在
4、变化投影面时，点的投影变换规律。1、新投影面的选择在进行投影变换时，新投影面是不能任意选择的，首先要使空间几何元素在新投影面上的投影能够帮助我们更方便地解决问题。并且新投影面必须要和不变的投影面构成一个直角两面体系，这样才能应用正投影原理作出新的投影图来。因而新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：（1）新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个不变的投影面。（2）新投影面必须使空间几何元素处于有利于解题的位置。2、点的一次换面根据选择新投影面的条件可知，每次只能变换一个投影面。变换一个投影面即能达到解题要求的称为一次换面。（1）变换 V 面，即 VHV1H如图 250 中 a、a 为点 A 在
5、VH 体系中的投影，在适当的位置设一个新投影面V1代替 V，必须使 V1H，从而组成了新的投影体系 V1H。 V1与 H 的交线 X1为新的投影轴。由 A 向V1作垂线得到新投影面上的投影 a1 ，而水平投影仍为 a 。（a） （b）图图 250 变换变换 V 面面边作图演示边讲解作图步骤。（2）变换 H 面，即 VHVH1从图 251 中看出，用 H1代替 H 组成新投影面体系 VH1，由于 V 面不变，所以点到 V 面的距离不变。即 a1a x1 = aa x = y 坐标。（a） （b）图图 251 变换变换 H 面面边作图演示边讲解作图步骤。3、点的二次换面点的二次变换的原理和方法与第
6、一次变换基本相同，只是将作图过程重复一次，但要注意新、旧体系中坐标的量取，其作图方法和步骤如图 252 所示：（a） （b）图图 252 点的二次变换点的二次变换注意：新投影面的设置必须符合前述两个原则，而且必须交替变换，若第一次用 V1面代替 V 面，组成 V1H 新体系，第二次变换则应用 H2面代替 H 面组成 V1H2体系，可如此交替多次变换达到解题目的。（三）直线的投影变换直线是由两点决定的，因此当直线变换时，只要将直线上任意两点的投影加以变换，即可求得直线的新投影。在解决实际问题时，根据实际需要经常要将一般位置线变换成平行或垂直于新投影面的位置。1、直线的一次换面（1）将一般位置线变
7、换为投影面平行线当一般位置线变换为投影面平行线时，就可以求出线段的实长和对投影面的倾角。举例：如图 253 所示，AB 为一般位置线，如要变换为正平线，则必须变换 V 面，使新投影面 V1面平行 AB，这样 AB 在 V1面上的投影 a1 b1 将反映 AB 的实长，a1 b1 与X1轴的夹角反映直线对 H 面的倾角 。（a） （b）图图 253 一般位置线变换为投影面平行线（求一般位置线变换为投影面平行线（求角）角）边作图演示边讲解作图步骤。（2）将投影面平行线变换为投影面垂直线举例：如图 255 所示，将正平线 AB 变换为垂直线。根据投影面垂直线的投影特性，反映实长的投影必定为不变投影，
8、只要变换水平投影面，即作新投影面 H1面垂直 AB，这样 AB 在 H1面上的投影重影为一点 。（a） （b）图图 255 正平线变换为投影面垂直线正平线变换为投影面垂直线边作图演示边讲解作图步骤。在上例中，如果要求将水平线 AB 变换为垂直线，只要变换正投影面，即作新投影面V1面垂直 AB，这样 AB 在 V1面上的投影重影为一点，如图 256 所示。边作图演示边讲解作图步骤。（a） （b）图图 256 水平线变换为投影面垂直线水平线变换为投影面垂直线2、直线的二次换面直线的二次换面可以将一般位置线变换为投影面垂直线。第一次将一般位置线变换为投影面平行线，第二次将投影面平行线变换为投影面垂直
9、线。举例：如图 257 所示，AB 为一般位置线，如先变换 V 面，使 V1面平行 AB，则AB 在V1H体系中为投影面平行线，再变换 H 面，作 H2面垂直 AB，则 AB 在V1H2体系中为投影面垂直线。（a）（b）图图 257 一般位置线变换为投影面垂直线一般位置线变换为投影面垂直线边作图演示边讲解作图步骤。（四）平面的投影变换平面的投影变换，就是将决定平面的一组几何要素的投影加以变换，从而求得平面的新投影。根据具体要求，可以将平面变换成平行或垂直于新投影面的位置。1、平面的一次换面（1）将一般位置面变换为投影面垂直面当一般位置面变换为投影面垂直面时，就可以求出平面对投影面的倾角。举例：
10、如图 258 所示，ABC 为一般位置面，如要变换为正垂面，则必须取新投影面 V1代替 V 面，V1面既垂直于ABC，又垂直于 H 面，为此可在三角形上先作一水平线，然后作 V1面与该水平线垂直，则它也一定垂直 H 面。 （a） （b）图图 258 一般位置平面变换为投影面垂直面（求一般位置平面变换为投影面垂直面（求角）角）边作图演示边讲解作图步骤。在上例中，如果要求ABC 对 V 面的倾角，可在此三角形平面上先作一正平线 AE，然后作 H1面垂直 AE，则ABC 在 H1面上的投影为一直线，它与 X1轴的夹角反映ABC 对 V 面的倾角，如图 259 所示。边作图演示边讲解作图步骤。图图 2
11、59 一般位置平面求一般位置平面求角角（2）将投影面垂直面变换为投影面平行面举例：如图 260 所示为铅垂面ABC，要求变换为投影面平行面。根据投影面平行面的投影特性，重影为一直线的投影必定为不变投影，因此可以变换 V 面，使新投影面V1平行ABC，这样ABC 在 V1面上的投影a1 b1 c1 反映实形。（a） （b）图图 260 垂直面变换为平行面垂直面变换为平行面边作图演示边讲解作图步骤。2、平面的二次换面平面的二次换面可以将一般位置面变换为投影面平行面。第一次将一般位置面变换为投影面垂直面，第二次将投影面垂直面变换为投影面平行面。举例：如图 261（a）所示为ABC 为一般位置面，为了
12、求出它的实形，必须变换两次，先将ABC 变换为垂直面，再变换为平行面。（a） （b）图图 261 一般位置面变换为投影面垂直面一般位置面变换为投影面垂直面边作图演示边讲解作图步骤。同理，也可以先变换 H 面，在此基础上再变换一次 V 面，如图 261（b）所示，a2b2c2 为所求实形。（五）换面法投影变换应用举例1、讲解例题（例 212） 求 C 点到 AB 直线的距离。如图 262（a）所示。作图方法与步骤如图 262 (b)所示：（a） （b）图图 262 求点到直线的距离求点到直线的距离2、讲解例题（例 213） 求 D 点到平面ABC 的距离。如图 263（a）所示。作图方法与步骤如图 263 (b)所示。（a） （b）图图 263 求点到平面的距离求点到平面的距离3、讲解例题（例 214） 求交叉两直线 AB、CD 间的距离。如图 264（a）所示。作图方法与步骤如图 264 (b)所示。（a） （b）图图 264 求两交叉直线间的距离求两交叉直线间的距离4、讲解例题（例 215） 求两平面ABC 、ABD 之间的夹角。如图 265（a）所示。作图方法与步骤如图 265(b)所示。（a） （b）图图 265 求两平面之间的夹角求两平面之间的夹角四、小结总结例题，归纳直线和平面投影变换的作图方法和步骤。五、布置作业习题集 24（1）（8）
