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1、第 1 页 共 16 页新课标高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座老苗汤 老苗汤泡脚 老苗汤官网 第二讲 函数概念与表示函数概念与表示一课标要求一课标要求1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型， 在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作 用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念； 2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析 法）表示函数； 3通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用； 4通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几 何意义；结
2、合具体函数，了解奇偶性的含义； 5学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 二命题走向二命题走向 函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在 历年的高考中都占据相当大的比例。 从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对 于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找 出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结 果。 高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对 较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。 预测 2008 年高考
3、对本节的考察是： 1题型是 1 个选择和一个填空； 2热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函 数成为新的热点。 三要点精讲三要点精讲 1函数的概念： 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意 一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作：y=f(x)，xA。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做第 2 页 共 16 页函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数 的值域。 注意：（1） “
4、y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)” ； （2）函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是 f 乘 x。 2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 （1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形 式： 自然型：指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围（如：分式函数的分母不 为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等） ； 限制型：指命题的条件或人为对自变量 x 的限制，这是函数学习中重点，往往也 是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； 实际型：解决函数的综合问题与应用
5、问题时，应认真考察自变量 x 的实际意义。 （2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简 单函数的值域问题。 配方法（将函数转化为二次函数） ；判别式法（将函数转化为二次方程） ；不 等式法（运用不等式的各种性质） ；函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调 性、函数图象等） 。 3两个函数的相等： 函数的定义含有三个要素，即定义域 A、值域 C 和对应法则 f。当函数的定义域及 从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应 法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这 两个函数才是同一个函数。 4区
6、间 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示。 5映射的概念 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f：AB” 。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为 “任意两个非空集合” ，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这 种的对应就叫映射。 注意：（1）这两个集合有先后顺序，A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然
7、不同 的其中 f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。 （2） “都有唯一”什么意思？ 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。 6常用的函数表示法 （1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函第 3 页 共 16 页数的解析表达式，简称解析式； （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。 7分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数 又称分段函数； 8复合函数 若 y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么 y=f
8、g(x)称为复合函数，u 称为中间变 量，它的取值范围是 g(x)的值域。 四典例解析四典例解析 题型 1：函数概念例 1 （1）设函数).89(,)100()5()100(3)(fxxffxxxf求 （2） （2001 上海理，1）设函数 f（x），则满足 f（x）= ), 1 (,log 1 ,(,281xxx的 x 值为 。41解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，)101()104()99()94()89(fffffffffffff=)99()102()97()100()103()98(fffffffffff=.98)101()104( fff（2）当 x
9、（，1 ，值域应为， ，21当 x（1，）时值域应为（0，） ，y，y（0，） ，41此时 x（1，） ，log81x，x813。4141点评：讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧（赋值、变量代换、换元等等） ，第 4 页 共 16 页这都是函数学习的常用基本功。变式题：（2006 山东 文 2）设（ 12 32,2( )( (2)log (1)2.xexf xf fxx，则的值为，） A0 B1 C2 D3 解：选项为 C。 例 2 （2006 安徽 文理 15）（1）函数对于任意实数满足条件，若则 f xx 12f xf x 15,f _ _； 5ff（2）函数对于任意实数满足条件，若则
10、 f xx 12f xf x 15,f _。 5ff解：（1）由得， 12f xf x14( )2f xf xf x所以，则。(5)(1)5ff 115( 5)( 1)( 12)5fffff （2）由得，所以 12f xf x14( )2f xf xf x，则。(5)(1)5ff 115( 5)( 1)( 12)5fffff 点评：通过对抽象函数的限制条件，变量换元得到函数解析式，考察学生的逻辑思 维能力。 题型二：判断两个函数是否相同 例 3试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；2x33x（2）f（x）=，g（x）=xx| ; 01, 01 xx（3）f（x）=，
11、g（x）=（）2n1（nN*） ；1212nnx12 nx第 5 页 共 16 页（4）f（x）=，g（x）=；x1xxx 2（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。解：（1）由于 f（x）=|x|，g（x）=x，故它们的值域及对应法则都不2x33x相同，所以它们不是同一函数；（2）由于函数 f（x）=的定义域为（，0）（0，+） ，而 g（x）=xx|的定义域为 R，所以它们不是同一函数； ; 01, 01 xx（3）由于当 nN*时，2n1 为奇数，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相1212nnx12 nx同，所以它们是同一函数；（4）由于函
12、数 f（x）=的定义域为x|x0，而 g（x）=的定义x1xxx 2域为x|x1 或 x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数； （5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数。 点评：对于两个函数 y=f（x）和 y=g（x） ，当且仅当它们的定义域、值域、对应法 则都相同时，y=f（x）和 y=g（x）才表示同一函数头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。 （1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透头 头头 头
13、头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头要知道，在函数的定义域及对应法则 f 不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他 字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如 f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1） =（u+1）2+1 都可视为同一函数。 （2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要 素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数。 题型三：函数定义域问题 例 4求下述函数的定义域：（1）；02 )23() 12lg(2)(xxxxxf（2）).lg()lg()(22axkaxxf解：（1），解得函数定义域为.
14、023112012022xxxxxQ2 ,23()23, 1 () 1 ,21(UU第 6 页 共 16 页（2） ， （先对 a 进行分类讨论，然后对 k 进行分类讨论） ， 22axkaxQ当 a=0时，函数定义域为；)(Rk ), 0( 当时，得，0a axaxkax或1）当时，函数定义域为， 10 ka),(ka2）当时，函数定义域为， 110ka),(a3）当时，函数定义域为； 10 ka),(),(aakaU当时，得，0a axaxkax或1）当时，函数定义域为， 10 ka),(ka2）当时，函数定义域为， 110ka),(a3）当时，函数定义域为。 10 ka),(),(aakaU点评：在这里只需要根据解析式有意义，列出不等式，但第（2）小题的解析式中 含有参数，要对参数的取值进行讨论，考察学生分类讨论的能力。例 5已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域： f x(1) ；(2)。2()23f x21 2() 1 log (2)f xy
