函数的单调性与凸性

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1、1第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、一、函数的单调性函数的单调性1、函数单调性的判定定理函数单调性的判定定理定理定理 4.3 设函数设函数在在内可内可 xfba,导，那么导，那么如果如果时，恒有时，恒有 在在bax, 0 xf xf内内递增递增（等号（等号ba,仅在有限个点处成立）仅在有限个点处成立）如果如果时，恒有时，恒有 在在bax, 0 xf xf内内递减递减（等号（等号ba,仅在有限个点处成立）仅在有限个点处成立）注：定理中的区间注：定理中的区间也可换成也可换成ba,其它形式的各种区间其它形式的各种区间2、补充概念、补充概念1 驻点驻点：使：使的点的

2、点，称，称 0 xfx2为为的驻点。的驻点。 xf2 临界点临界点：函数的驻点与函数的：函数的驻点与函数的导数不存在的点统称为临界点。导数不存在的点统称为临界点。例例 1 确定确定的单调增的单调增 xxxf33减区间减区间-1 1 1,1 , 1, 1 xf +-+ xf注：（注：（1）复习序轴标根法：）复习序轴标根法：每个因子中每个因子中的系数为正的系数为正x数轴上只标出单重根数轴上只标出单重根画波浪线时总是从右上侧入手。画波浪线时总是从右上侧入手。3（2）单调性的一般步骤）单调性的一般步骤解方程解方程求出所有的根求出所有的根 0 xf及导数不存在的点，即临界点及导数不存在的点，即临界点将所

3、有的临界点从小到大排列划将所有的临界点从小到大排列划分函数分函数的定义域，列表，由的定义域，列表，由 xf判定定理写出结果判定定理写出结果最后写出综合的结果最后写出综合的结果例例 2 确定确定的增减性的增减性 3xxf例例 3（补充）（补充） 确定确定的的 32xxf单调区间单调区间3、利用单调性证明不等式、利用单调性证明不等式例例 4（补充）（补充） 当当时，求证：时，求证：1xxx1324当当时，求证：时，求证：0x xx1ln补充补充(900406)当当时，求证：时，求证：x 2211ln1xxxx二、曲线的凹向与拐点二、曲线的凹向与拐点1曲线的凹向概念曲线的凹向概念定义定义 4.2 曲

4、线弧位于其上任意一点切线的曲线弧位于其上任意一点切线的上上方方 曲线在这个区间上曲线在这个区间上上凹上凹的的 U曲线弧位于其上任意一点切线的曲线弧位于其上任意一点切线的下下方方 曲线在这个区间上曲线在这个区间上下凹下凹的的5下凹下凹 上凹上凹 U定义：设在定义：设在区间区间 I 内连续，如内连续，如 xf果对果对 I 上任意的两点上任意的两点恒有：恒有：21,xx凹的凹的 222121xfxfxxf凸的凸的 222121xfxfxxf注：注：常用凸凹性来证明不等式。常用凸凹性来证明不等式。如习题如习题 34： 8（3）2lnlnlnyxyxyyxx6 2ln22lnlnyxyxyyxx设设即可

5、。即可。yxttttf,ln特别的：如果曲线是凹的，且特别的：如果曲线是凹的，且则对则对)()(21xfxf有有),(21xxx 221 21xfxfxfxfxf利用它来证明不等式。例：利用它来证明不等式。例：习题习题 34： 8（5）xxx02sin设设 xxxf2sin7 1 2cos21xxf凸的凸的 02sin41xxf又又，故对任意的，故对任意的 00ff有有, 0x 002sinfxxxf2、曲线凸凹性的判定定理、曲线凸凹性的判定定理定理定理 7 设设在在内具有二内具有二 xfba,阶导数，则阶导数，则有有bax, 0 xf上凹上凹 xf有有bax, 0 xf8下凹下凹 xf3曲线

6、的拐点及其判断曲线的拐点及其判断1） 定义定义 3 曲线上凹与下凹的分界曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。点称为曲线的拐点。2） 拐点的判定定理拐点的判定定理区间区间111,xx111,xx xf + U-拐拐 点点 xf - n+ U拐拐 点点 xf + U+ U xf - n- n无无 拐拐 点点9注：注： （1）只关心在）只关心在左右邻近，左右邻近，0x存在且符号相反，则存在且符号相反，则 xf 为拐点。与为拐点。与， ),(00xfx 0xf 存在与否无关。存在与否无关。 0xf （2）拐点的可能取值：）拐点的可能取值：或或不存在的点不存在的点 00 xf 0xf （可能存在，也可

7、能不存在）可能存在，也可能不存在） 0xf 例例 1 求求的凹向的凹向 1234xxxf与拐点与拐点解：解： 2364xxxf10 11212122 xxxxxf0 1区间区间 xf +-+ xfUnU拐点拐点 拐点拐点例例 2 求求的凹向与拐的凹向与拐 35 )2( xxf点点解：解： 221 9103 xxxf（不存在的点）不存在的点） xf 2区间区间 xf -+ xfnU11拐点拐点三、小结：三、小结：（1）单调性与极值：求出）单调性与极值：求出的根，的根，不存在的点，不存在的点， 0 xf xf 然后再列表讨论。然后再列表讨论。（2）凸凹性与拐点：求出）凸凹性与拐点：求出的根，的根，不存在的点，不存在的点， 0 xf xf 然后再列表讨论。然后再列表讨论。作业：作业：课堂练习课堂练习 34： 1，2 习题习题 34： 1，2，4（1）（4） （5） （8）5（1） （2） （6） ，6，7（1） （3） （9） ，8（3） （5） ，9