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1、11第五章第五章 参数估参数估计计一、一、单单一一总总体体的参数估的参数估计计（一）估计的含义（一）估计的含义 估计：人人都做过。如：估计：人人都做过。如： 上课时，你会上课时，你会估计估计一下老师提问你的概率有多大？一下老师提问你的概率有多大？ 当你去公司应聘时，会当你去公司应聘时，会估计估计你被录用的可能性是多少？你被录用的可能性是多少？ 推销员年初时要推销员年初时要估计估计今年超额完成任务的概率有多大？今年超额完成任务的概率有多大？ 估计量：估计量：用来估计总体参数的用来估计总体参数的样本统计量样本统计量。如：如：算术平均数、中位数、标准差、方差等。算术平均数、中位数、标准差、方差等。
2、估计的可能性与科学性：估计的可能性与科学性：数理统计证明，一数理统计证明，一 个个“优良优良”的样本统计量应具备以下特征：的样本统计量应具备以下特征： （1 1） 、无偏性。、无偏性。样本估计量的期望值应等于总样本估计量的期望值应等于总 体参数。无系统偏差。体参数。无系统偏差。 （2 2） 、有效性。、有效性。与离散度相联系。在多个无偏与离散度相联系。在多个无偏 估计量中，方差最小的估计量最有效。估计量中，方差最小的估计量最有效。 （3 3） 、一致性。、一致性。随着样本容量的增加，可以使随着样本容量的增加，可以使 估计量越来越靠近总体参数。估计量越来越靠近总体参数。 （4 4） 、充分性。、
3、充分性。估计量能够充分利用有关信息，估计量能够充分利用有关信息， 中位数和众数不具备这一点。中位数和众数不具备这一点。 估计的类型包括估计的类型包括 ： 1、点估计：点估计：只有一个取值。如样本平均数只有一个取值。如样本平均数22就是总体平均数就是总体平均数 的的点估计值。点估计值。nxx2 2、区间估计：、区间估计：给出取值范围（给出取值范围（值域值域） 。见见 PPTPPT两种估计类型哪一种更科学两种估计类型哪一种更科学？ 区间估计的优点在于：它在给出估计区间时，区间估计的优点在于：它在给出估计区间时， 还可以给予一个还可以给予一个“可信程度可信程度” 。例如：销售经理想估例如：销售经理想
4、估计一下明年的出口总值，甲估计是计一下明年的出口总值，甲估计是 5353 万美元，乙估计是万美元，乙估计是50505656 万美元之间，并可以确切地说万美元之间，并可以确切地说“有有 95%95%的把握的把握” 。显。显然后者的可信程度大于前者。那么，然后者的可信程度大于前者。那么，50505656 万美元之间的万美元之间的范围是如何计算的？范围是如何计算的？“有有 95%95%的把握的把握”是什么意思？是什么意思？【引例引例】：某食品进出口公司向东南亚出口一批花生制品，：某食品进出口公司向东南亚出口一批花生制品，管理人员从中抽取管理人员从中抽取 5050 包作为样本，计算其平均数为包作为样本
5、，计算其平均数为 250250 克。克。另外，合同规定总体标准差为另外，合同规定总体标准差为 6 6 克。克。如果问这批花生制品的平均重量，可用样本平均数作为如果问这批花生制品的平均重量，可用样本平均数作为总体平均数的最佳估计量：总体平均数的最佳估计量：250250 克。但这是远远不够的，克。但这是远远不够的，在许多时候，管理人员还想了解在许多时候，管理人员还想了解“这个估计值的平均误差这个估计值的平均误差是多少？是多少？” “总体平均数可能落入样本平均数上、下多大范总体平均数可能落入样本平均数上、下多大范围内？围内？” “ 这个估计值的可靠程度是多少？这个估计值的可靠程度是多少？”11由于由
6、于 n=50n=50，根据中心极限定理可作图：，根据中心极限定理可作图： n=50n=50，=6=622抽样平均误差：抽样平均误差：8487. 0506nx33若用若用 250250 克这个估计值估计总体克这个估计值估计总体33平均数，其平均误差为平均数，其平均误差为 0.84870.8487。 x 44若用区间表示估计的值域：这批花生制品的总体平若用区间表示估计的值域：这批花生制品的总体平均重量是均重量是 2500.84872500.8487 克之间。克之间。55总体平均数在总体平均数在 2500.84872500.8487 克之间的可信度为克之间的可信度为68.3%68.3%。总体平均数在
7、总体平均数在 25020.848725020.8487 克之间的可信度为克之间的可信度为 95.5%95.5%。总体平均数在总体平均数在 25030.848725030.8487 克之间的可信度为克之间的可信度为 99.7%99.7%。 （二）区间估计中几个常用概念（二）区间估计中几个常用概念 1 1、置信度（置信系数）：、置信度（置信系数）：它是指与一个估计区它是指与一个估计区 间相联系的概率，它表示该区间将包括总体参间相联系的概率，它表示该区间将包括总体参 数的可能程度。用数的可能程度。用 1-1- 表示。置信度越大，估表示。置信度越大，估 计区间内所包含总体参数的可信度越高。计区间内所包
8、含总体参数的可信度越高。（68.3%68.3%、95.45%95.45%、99.7%99.7%都是置信度）都是置信度） 2 2、置信区间：、置信区间：与一个与一个“置信度置信度”相联系的估计相联系的估计值的取值范围。用值的取值范围。用表示表示（如（如xzx25022502）x25022502：表示有：表示有 95.45%95.45%的样本平均数的样本平均数x构造的区间将包含总体平均数。构造的区间将包含总体平均数。25032503：表示有表示有 99.73%99.73%的样本平均数的样本平均数x构造的区间将包含总体平均数。构造的区间将包含总体平均数。443 3、置信限：、置信限：与置信区间相联系
9、的界限，包括上与置信区间相联系的界限，包括上 限和下限。限和下限。如上题中下限：如上题中下限：250-250-，上限：，上限：250+250+xx思考题：置信度与置信区间有何关系？思考题：置信度与置信区间有何关系？ （三）（三）总体平均数总体平均数的区间估计的区间估计 1 1、大样本大样本条件下的区间估计条件下的区间估计 （1 1） 、总体标准差、总体标准差 已知已知条件下，对总体平条件下，对总体平 均数的区间估计均数的区间估计案例案例 1 1：在：在【引例引例】中：食品进出口公司出口一批花生中：食品进出口公司出口一批花生制品，管理人员抽取制品，管理人员抽取 5050 包为样本，其平均数为包为
10、样本，其平均数为 250250 克。合克。合同规定总体标准差为同规定总体标准差为 6 6 克。问：（克。问：（1 1）如果置信区间为：）如果置信区间为：25022502、2501.962501.96，总体参数这一范围的把握程度有，总体参数这一范围的把握程度有xx多大？（多大？（2 2）若用）若用 90%90%的置信系数，则该批食品平均重量是的置信系数，则该批食品平均重量是多少？多少？ 解：（解：（1 1）a a、25020.848725020.8487，与，与 z=2z=2 对应的置信度是：对应的置信度是：0.47722=95.44%0.47722=95.44%；b b、2501.960.84
11、872501.960.8487，与，与 z=1.96z=1.96 对应的置信度是：对应的置信度是：0.47502=95%0.47502=95%。（2 2） 8487. 007. 76 506nx与与 90%90%对应的对应的 Z Z 值是值是 0.9/2=0.450.9/2=0.45，Z=(1.64+1.65)Z=(1.64+1.65)55/2=1.645/2=1.645，置信区间：，置信区间：2501.645*0.84872501.645*0.8487，即该批食品的，即该批食品的平均重量在平均重量在 248.6248.6251.396251.396 克之间的把握程度是克之间的把握程度是 90
12、%90%。案例案例 2 2：某茶叶进出口公司，准备处理一批库存：某茶叶进出口公司，准备处理一批库存 2 2 年的年的茶叶，出库之前要进行一次检验。检验数据如下；样本容茶叶，出库之前要进行一次检验。检验数据如下；样本容量为量为 6464 包，样本平均数为每包包，样本平均数为每包 2 2 公斤，入库记录表明总体公斤，入库记录表明总体标准差为标准差为 0.20.2 公斤。经理要求在公斤。经理要求在 95%95%的可信度下，估计一的可信度下，估计一下这批茶叶的平均重量在多大范围内？下这批茶叶的平均重量在多大范围内？解：解：（公斤）（公斤） 049.2025.096.12951.1025.096.12,
13、025.0642.096.1 ,475.02/95.0,95.01 ,2.0,30,6421 cczxnznnxx答：这批茶叶平均重量在答：这批茶叶平均重量在 1.9511.9512.0492.049 公斤，其可信程度公斤，其可信程度为为 95%95%。 课堂练习教材课堂练习教材 P144P144，1 1、2 2 （2 2） 、总体标准差、总体标准差 未知未知条件下的区间估计条件下的区间估计 总体标准差总体标准差 未知条件下，一般用样本未知条件下，一般用样本 标准差标准差 S S 代替总体标准差代替总体标准差 。案例：某项抽样调查中获得如下资料：案例：某项抽样调查中获得如下资料： N N 可以
14、视为无限可以视为无限总体，总体，n=81n=81，样本平均数为，样本平均数为 500500，样本标准差为，样本标准差为 9090，求：，求：总体平均数可信度为总体平均数可信度为 90%90%的置信区间。的置信区间。66解：解： 45.51610645.150055.48310645.1500,108190645.1,500,90,308121 ccxnszxsnxx答：此项调查中，总体平均数的可信度为答：此项调查中，总体平均数的可信度为 90%90%的置信区间的置信区间是在是在 483.55483.55516.45516.45 之间。之间。习题习题 1 1：一次等级考试，因急于评估试题质量，教
15、师先：一次等级考试，因急于评估试题质量，教师先随机抽取随机抽取 3636 份试卷批改，平均分是份试卷批改，平均分是 7272 分，标准差分，标准差 13.213.2 分，分，系主任要求在系主任要求在 90%90%的可信度下，对全体考生的平均成绩做的可信度下，对全体考生的平均成绩做一个区间估计。一个区间估计。解：解： 62.752 . 2645. 172;38.682 . 2645. 172, 2 . 2362 .13645. 1, 2 .13,72,303621cczxnzsxnxx习题习题 2 2：某土产畜产公司收购一批烟草，抽取：某土产畜产公司收购一批烟草，抽取 3030 箱为样箱为样本，平均重量为本，平均重量为 2020 公斤，标准差为公斤，标
