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1、 第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念及其基本运算集合的概念及其基本运算1.集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法.(4)常用数集：自然数集 N；正整数集 N*(或 N)；整数集 Z；有理数集 Q；实数集 R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集.2.集合间的基本关系(1)子集、真子集及其性质对任意的 xA，都有 xB，则 AB(或 BA).若 AB，且在 B 中至少有一个元素 xB，但 xA，则 A B(或 B A).A；
2、AA；AB，BCAC.若 A 含有 n 个元素，则 A 的子集有 2n个，A 的非空子集有 2n1 个，A 的非空真子集有2n2 个.(2)集合相等若 AB 且 BA，则 AB.3.集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：ABx|xA，或 xB；交集：ABx|xA，且 xB；补集：UAx|xU，且 xA.U 为全集，UA 表示 A 相对于全集 U 的补集.(2)集合的运算性质并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABABA.交集的性质：A；AAA；ABBA；ABAAB.补集的性质：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A.难点正本 疑点清源1.正确理解集合的概念正确理解集合的有关概念，特
3、别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用.在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误.2.注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集.在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性.例如：AB，则需考虑 A和 A两种可能的情况.3.正确区分，0，是不含任何元素的集合，即空集.0是含有一个元素 0 的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.是含有一个元素的集合.0，0.1.(课本改编题)已知全集 U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,5，B1,3,5,7，则 A(UB)_.答案 2,4解
4、析 UB2,4,6，A(UB)2,4.2.(2011上海，2)若全集 UR，集合 Ax|x1x|x0，则UA_.答案 x|01，20.2x2xx解得 x2，即 Mx|x2.又 Ny|y0，NRM0，)0,20,2.题型一题型一 集合的基本概念集合的基本概念例 1 (1)已知 Aa2，(a1)2，a23a3，且 1A，求实数 2 013a的值；(2)x，x2x，x33x 能表示一个有三个元素的集合吗？如果能表示一个集合，说明理由；如果不能表示，则需要添加什么条件才能使它表示一个有三个元素的集合.思维启迪：(1)1A，则 a2，(a1)2，a23a3 可以分别为 1，但又要注意它们互不相同.(2)
5、从集合元素互异性的特点分析，它们必须具备两两不等.解 (1)当 a21，即 a1 时，(a1)20，a23a31 与 a2 相同，不符合题意.当(a1)21，即 a0 或 a2 时，a0 符合要求.a2 时，a23a31 与(a1)2相同，不符合题意.当 a23a31，即 a2 或 a1.当 a2 时，a23a3(a1)21，不符合题意.当 a1 时，a23a3a21，不符合题意.综上所述，a0.2 013a1.(2)因为当 x0 时，xx2xx33x0.所以它不一定能表示一个有三个元素的集合.要使它表示一个有三个元素的集合，则应有Error!x0 且 x2 且 x1 且 x2 时，x，x2x
6、，x33x能表示一个有三个元素的集合.探究提高 (1)加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.(2)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.若集合 Ax|ax23x20的子集只有两个，则实数 a_.答案 0 或98解析 集合 A 的子集只有两个，A 中只有一个元素.当 a0 时，x 符合要求.23当 a0 时，(3)24a20，a .98故 a0 或 .98题型二题型二 集合间的基本关系集合间的基本关系例 2 已知集合 Ax|00，则 A.x|1a0 时，若 AB，如图，则Error!，Error!.又a0，a2.综上知，当 AB 时，a0 时，若 BA，如图，则
7、Error!，Error!.又a0，04，即 c4.题型三题型三 集合的基本运算集合的基本运算例 3 设 UR，集合 Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0.若(UA)B，则 m 的值是_.思维启迪：本题中的集合 A，B 均是一元二次方程的解集，其中集合 B 中的一元二次方程含有不确定的参数 m，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(UA)B对集合A，B 的关系进行转化.答案 1 或 2解析 A2，1，由(UA)B，得 BA，方程 x2(m1)xm0 的判别式 (m1)24m(m1)20，B.B1或 B2或 B1，2.若 B1，则 m1；若 B2，则应有(m1)(2)(2)4，且 m
8、(2)(2)4，这两式不能同时成立，B2；若 B1，2，则应有(m1)(1)(2)3，且 m(1)(2)2，由这两 式得 m2.经检验知 m1 和 m2 符合条件.m1 或 2.故填 1 或 2.探究提高 本题的主要难点有两个：一是集合 A，B 之间关系的确定；二是对集合 B 中方程的分类求解.集合的交并补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过 Venn 图进行直观的分析不难找出来，如 ABABA，(UA)BBA 等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法.设全集是实数集 R，Ax|2x27x30，Bx|x2a3，12当(RA)BB 时，BRA，
9、即 AB.当 B，即 a0 时，满足 BRA；当 B，即 a2m1，即 m1 D.x|x1 或 x1 或 x0，Mx|x1 或 x0，Ny|y1，MNx|x1.4.(2011浙江五校第一次联考)如果全集 UR，Ax|2m2，ARB，m23 或 m25 或 m1，Py|y ，x2，则UP 等于( )1xA. B.12，)(0，12)C.(0，) D.(，012，)答案 A解析 Uy|ylog2x，x1y|y0，Py|y ，x2y|00，By|y，则(RA)B 等于( )32xx2A. B.0，12(0，12C.(3,2 D.3，12答案 A解析 由已知，集合 A 表示不等式 log2x10 的解
10、集，由 log2x10，可得log2x1log2，故有Error!解得 x ，故 Ax|x ，集合 B 表示的是函数 y121212的值域，设 t32xx2，则 y.而 t32xx2(x1)244，故32xx2ty0,2，即 By|0y2.所以(RA)B.故选 A.t0，12二、填空题5.(2011江苏省苏北四市高三调研)已知集合 A(，0，B1,3，a，若 AB，则实数 a 的取值范围是_.答案 a0解析 AB，aA，a0.6.(2010重庆)设 U0,1,2,3，AxU|x2mx0，若UA1,2，则实数m_.答案 3解析 UA1,2，A0,3，0,3 是方程 x2mx0 的两根，m3.7.
11、(2011海南三亚模拟)设 Ax|x|3，By|yx2t，若 AB，则实数 t 的取值范围是_.答案 (，3)解析 Ax|3x3，By|yt，由 AB知，t3，NMy|3y3y|3y3 或3y0.9.(2011岳阳模拟)已知集合 Ax|0，Bx|x22xm0，x5x1(1)当 m3 时，求 A(RB)；(2)若 ABx|1x4，求实数 m 的值.解 由0，x5x1所以1x5，所以 Ax|1x5.(1)当 m3 时，Bx|1x3，则RBx|x1 或 x3，所以 A(RB)x|3x5.(2)因为 Ax|1x5，ABx|1x4，所以有 4224m0，解得 m8.此时 Bx|2x4，符合题意， 故实数 m 的值为 8.
