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1、正余弦定理在实际生活中的应用正余弦定理在实际生活中的应用正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这 类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结 为数学问题.求解此类问题的大概步骤为： （1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如 仰角、俯角、视角、象限角、方位角等； （2）根据题意画出图形； （3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦 定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确， 最后作答.1.1.测量中正、余弦定理的应用测量中正、余弦定理的应用 例例
2、 1 1 某观测站在目标南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公CA25A35 路，在处测得公路上与相距 31 千米的处有一人正沿此公路向走去，走 20CCBA 千米到达，此时测得距离为千米，求此人所在处距还有多少千米？DCD21DA 分析：分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解，求角.再解，CBDBABC 求出，再求出，从而求出（即为所求）.ACABAD 解：解：由图知，.60CAD， 22222231202123cos22 31 2031BDBCCDBBC BD.12 3sin31B 在中，.ABCsin24sinBCBACA由余弦定理，得.2222cosBCACABAC ABA 即.
3、2223124224 cos60ABAB 整理，得，解得或（舍）.2243850ABAB35AB 11AB 故（千米）.15ADABBD 答：此人所在处距还有 15 千米.DA 评注：评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方 向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理.2.2.航海中正、余弦定理的应用航海中正、余弦定理的应用 例例 2 2 在海岸处，发现北偏东方向，距为海里的处有一艘走私船，A45A31B 在处北偏西方向，距为 2 海里的处的缉私船奉命以海里/小时的速A75AC10 3ACD3121B20203525东北度追截走私船.此时走私船正以海
4、里/小时的速度从处向北偏东方向逃窜，10B30 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？ 分析：分析：注意到最快追上走私船，且两船所用时间 相等，可画出示意图，需求的方位角及由到CDC 所需的航行时间.D解：解：设缉私船追上走私船所需时间为 小时，t 则有，.10 3CDt10BDt 在中，ABC31AB 2AC ，4575120BAC 根据余弦定理可得.22( 31)22 2 ( 31)cos1206BC 根据正弦定理可得.32sin12022sin26ACABCBC，易知方向与正北方向垂直，从而.45ABCCB9030120CBD 在中，根据正弦定理可得：BCD，sin10
5、 sin1201sin210 3BDCBDtBCDCDt，30BCD 30BDC6BDBC则有，小时分钟.106t 60.24510t 14.7所以缉私船沿北偏东方向，需分钟才能追上走私船.06014.7 评注：评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明 确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.3.3.航测中正、余弦定理的应用航测中正、余弦定理的应用 例例 3 3 飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔m，20250 速度为km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过秒后又看到山顶的18018 30120 俯角为，求山顶的
6、海拔高度（精确到 m）.811 分析：分析：首先根据题意画出图形，如图，这样可在和中解出山顶到ABMRt BMD 航线的距离，然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度. 解：解：设飞行员的两次观测点依次为和，AB 山顶为，山顶到直线的距离为.MMD 如图，在中，由已知，得ABM ，18 30A99ABM .62 30AMBABDM457530ACDB又（km）,120180660 60AB 根据正弦定理，可得，6sin18 30 sin62 30BM进而求得，（m）,6sin18 30sin81 sin62 30MD2120MD 可得山顶的海拔高度为（m）.20250212018130 评注
7、：评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、余弦定理有序地解相 关的三角形，从而得到问题的答案.4.4.炮兵观测中正、余弦定理的应用炮兵观测中正、余弦定理的应用 例例 4 4 我炮兵阵地位于地面处，两观察所分别位于地面点和处，已知ACD 米，目标出现于地面点处时，测得6000CD 45ACD75ADCB ，（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）.30BCD15BDC 分析：分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点、可构成四个三角形.ABCD 要求的长，由于，只需知道和的长，这样可选择AB751590ADB ADBD 在和中应用定理求解.ACDBCD解：解：在中，ACD18
8、060CADACDADC ，6000CD 45ACD根据正弦定理有，sin452 sin603CDADCD 同理，在中，BCD ，180135CBDBCDBDC ，6000CD 30BCD根据正弦定理有.sin302 sin1352CDBDCD 又在中，ABD90ADBADCBDC 根据勾股定理有：.2221421000 42326ABADBDCDCD所以炮兵阵地到目标的距离为米.1000 42 评注：评注：应用正、余弦定理求解问题时，要将实际问题转化为数学问题，而此类问题 又可归结为解斜三角形问题，因此，解题的关键是正确寻求边、角关系，方能正确 求解.5.5.下料中正余弦定理的应用下料中正余
9、弦定理的应用 例例 5 5 已知扇形铁板的半径为，圆心角为，要从中截取一个面积最大的矩形，R60 应怎样划线？304575ACD15分析：分析：要使截取矩形面积最大，必须使矩形的四个顶点都在扇形的边界上，即为扇 形的内接矩形，如图所示.解：解：在图（1）中,在上取一点，过作于，过作ABPPPNOANP 交于，再过作于.PQPNOBQQQMOAM设，.在中，由正弦定理，得AOPxsinPNRxPOQ.sin(18060 )sin(60)OPPQ x2 3sin(60)3PQRx于是222 33sinsin(60)cos(260 )cos6033SPN PQRxxRx .22313(1)326RR
10、当即时，取得最大值.cos(260 )1x 30x S23 6R在图（2）中，取中点，连结，在上取一点，过作ABCOCABPP 交于，过作交于，过作交于，/PQOCOBQPPNPQABNQQMPQCAM连结得矩形，设，则.MNMNPQPOCxsinPDRx在中，由正弦定理得：，POQsin(18030 )sin(30)RR x.2 sin(30)PQRx2224sinsin(30)2cos(230 )cos30SPD PQRxxRx （当时取“”）.222(1 cos30 )(23)RR 15x 当时，取得最大值.15x S2(23)R，223(23)6RR作，按图（1）划线所截得的矩形面积最大.30AOP 评注：评注：此题属于探索性问题，需要我们自己寻求参数，建立目标函数，这需要有扎 实的基本功，在平时学习中要有意识训练这方面的能力.ABQPOx MN （1）ABQPOxMNED（2）综上，通过对以上例题的分析，要能正确解答实际问题需：（1）准确理解有关问 题的陈述材料和应用的背景；（2）能够综合地，灵活地应用所学知识去分析和解 决带有实际意义的与生产、生活、科学实验相结合的数学问题.
