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1、南京市、盐城市南京市、盐城市 2014 届高三第一次模拟考试届高三第一次模拟考试一、填空题一、填空题1.已知集合，集合，则 . 3, 1,1,2A 0,)B AB I2.若复数（ 为虚数单位）为纯虚数，则实数 .(1)(3)ziaiia 3.现从甲、乙、丙人中随机选派人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .32 4.根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为 .S0 110PrintS For I From ToSSI End For S5.若一组样本数据，的平均数为，则该组数据的方差 .2378a52s 6.在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它xOy1 2x 的一个
2、顶点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .24yx 7.在平面直角坐标系中，若点到直线的距离为，且点在xOy( ,1)P m4310xy 4P不等式表示的平面区域内，则 .23xym 8.在四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧棱PABCDABCD260BADo底面，为的中点，则四面体的体积为 .PAABCD2PAEABPBCE9.设函数，则“为奇函数”是“”的 条件.（选填( )cos(2)f xx( )f x2“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要” ）10.在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心xOy22(1)4xyAB(1,2)P对称，则
3、直线的方程为 .AB11.在中，则的最小值为 .ABC2BC 2 3AAB ACuuu r uuu r12.若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数.如果实数 满足( )f xR0.)t时，那么 的取值范围是 .1(ln )(ln )2 (1)ftfftt13.若关于的不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值范围是 .x2(20)lg0aaxxxa14.已知等比数列的首项为，公比为，其前项和为，若对na4 31 3nnS1n nASBS恒成立，则的最小值为 .*nNBA二、解答题二、解答题15.在中，角，所对的边分别是，已知，.ABCABCabc2c 3C（1）若的面积等于，求，；AB
4、C3ab（2）若，求的面积.sinsin()2sin2CBAAABC16.如图，在正三棱锥中，分别为，的中点.111ABCABCEF1BBAC（1）求证：平面；/ /BF1AEC（2）求证：平面平面.1AEC 11ACC A17.如图，现要在边长为的正方形内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为100mABCD 圆心在四个角分别建半径为（不小于）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个xmx9半径为的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于，绕岛行驶的路宽均不小21 5x m60m于.10m（1）求的取值范围；（运算中取）x21.4（2）若中间草地的造价为元，四个花坛的造价为元，其余区域的造价为
5、a2/m4 33ax2/m元，当取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？12 11a2/mx18.在平面直角坐标系中，已知过点的椭圆：的右焦点为xOy3(1, )2C22221(0)xyabab，过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，点关于坐标原点的(1,0)FFxCABB对称点为，直线，分别交椭圆的右准线 于，两点.PPAPBClMN （1）求椭圆的标准方程；C（2）若点的坐标为，试求直线的方程；B8 3 3( ,)55PA（3）记，两点的纵坐标分别为，试问是否为定值？若是，请求出该MNMyNyMNyy定值；若不是，请说明理由.19.已知函数，.( )xf xe2( )1( ,)g xax
6、bxa bR（1）若，则，满足什么条件时，曲线与在处总有相同的0a ab( )yf x( )yg x0x 切线？（2）当时，求函数的单调减区间；1a ( )( )( )g xh xf x（3）当时，若对任意的恒成立，求的取值的集合.0a ( )( )f xg xxRb20.设等差数列的前项和为，已知，.nannS12a 622S （1）求；nS（2）若从中抽取一个公比为的等比数列，其中，且，naq nka11k 12nkkkLL.* nkN当取最小值时，求的通项公式；q nk若关于的不等式有解，试求的值.*()n nN16nnSkq2014 届高三调研测试试卷(一)(南京、盐城) 数学参考答案
7、及评分标准试卷勘误：第 16 题第(1)小题“求证：BF平面 A1EC1”更正为“求证：BF平面A1EC” 1. 1，2 2. 3 3. 4. 55 5. 6. yx 7. 6 8. 9. 必要不充分2326533310. xy30 11. 12. 13. 14. 231e，e10597215. 解：(1) 由余弦定理及已知条件，得 a2b2ab4.(2 分)因为ABC 的面积等于，所以 absinC，得 ab4.(4 分)3123联立方程组解得 a2，b2.(7 分)a2b2ab4， ab4，)(2) 由题意得 sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，所以 sinBcosA2sinA
8、cosA.当 cosA0 时，A ，所以 B ，所以 a，b.(10 分)264 332 33当 cosA0 时，得 sinB2sinA，由正弦定理得 b2a，联立方程组解得 a，b.(13 分)a2b2ab4， b2a，)2 334 33所以ABC 的面积 S absinC.(14 分)122 3316. 证明：(1) 连 AC1交 A1C 于点 O，连结 OE、OF， 在正三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 ACC1A1为平行四边形，所以 OAOC1.因为 F 为 AC 中点，所以 OFCC1，且 OF CC1.12因为 E 为 BB1中点，所以 BECC1且 BE CC1.12所以 B
9、EOF 且 BEOF，所以四边形 BEOF 是平行四边形，所以 BFOE.(4 分) 又 BF平面 A1EC，OE平面 A1EC，所以 BF平面 A1EC.(7 分) (2) 由(1)知 BFOE，因为 ABCB，F 为 AC 中点，所以 BFAC，所以 OEAC.(9 分) 因为 AA1底面 ABC，而 BF底面 ABC，所以 AA1BF. 由 BFOE，得 OEAA1，而 AA1、AC平面 ACC1A1，且 AA1ACA， 所以 OE平面 ACC1A1.(12 分) 因为 OE平面 A1EC，所以平面 A1EC平面 ACC1A1.(14 分)17. 解：(1) 由题意，得(4 分)x 9，
10、 1002x 60，100 22x2 15x2 2 10，)解得即 9x15.所以 x 的取值范围是9，15(7 分)x 9， x 20， 20 x 15，)(2) 记“环岛”的整体造价为 y 元，则由题意得yaaxx2(15x2)243312a11104 (15x2)2x2，(10 分)a11(125x443x312x2)12 104令 f(x)x4 x312x2，则 f(x)x34x224x4x.12543425(125x2x6)由 f(x)0，解得 x0(舍去)或 x10 或 x15，(12 分) 列表如下：x9(9，10)10(10，15)15f(x)00f(x)极小值所以当 x10，
11、y 取最小值 答：当 x10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低(14 分)18. 解：(1) 由题意，得 2a4，即 a2.(2 分)（11）2(320)2（11）2(320)2又 c1，所以 b23，所以椭圆 C 的标准方程为1.(5 分)x24y23(2) 因为 B，所以 P.又 F(1，0)，所以 kAB，(85，3 35)(85，3 35)3所以直线 AB 的方程为 y(x1)(7 分)3联立方程组解得 A(0，)(9 分)x24y231，y 3（x1），)3所以直线 PA 的方程为 yx，即x4y40.(10 分)34333(3) 当直线 AB 斜率 k 不存在时，易得 yMyN9
12、. 当直线 AB 斜率 k 存在时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 P(x2，y2)，所以1，1，两式相减，得（x2x1）（x2x1）4，（y2y1）（y2y1）3所以 kPAk，所以 kPA.(12 分)（y2y1）（y2y1）（x2x1）（x2x1）3434k所以直线 PA 方程为 yy2(xx2)，34k所以 yM(x24)y2y2.34k3（x24）（x21）4y2因为直线 PB 方程为 yx，所以 yN.(14 分)y2x24y2x2所以 yMyN3.因为1，所以 4y 123x ，（x24）（x21）x22 22 2所以 yMyN39，所以 yMyN为定值9.(16 分
13、)19. 解：(1) 因为 f(x)ex，所以 f(0)1.又 f(0)1， 所以 yf(x)在 x0 处的切线方程为 yx1.(2 分) 因为 g(x)2axb，所以 g(0)b. 又 g(0)1，所以 yg(x)在 x0 处的切线方程为 ybx1. 所以当 a0 且 b1 时，曲线 yf(x)与 yg(x)在 x0 处总有相同的切线(4 分)(2) 由 a1，h(x)，x2bx1ex所以 h(x).(7 分)x2（2b）xb1ex（x1）x（1b）ex由 h(x)0，得 x1 或 x1b. 所以当 b0 时，函数 yh(x)的减区间为(，1b)，(1，)； 当 b0 时，函数 yh(x)的
14、减区间为(，)； 当 b0，函数 (x)在 R 上单调递增 又 (0)0，所以 x(，0)时，(x)0 时，由 (x)0，得 xlnb；由 (x)1 时，同理 (lnb)1. 要使 q 最小，只需要 k2最小即可若 k22，则由 a2 ，得 q ，此时 ak32.由 (n2)，83a2a143(43)232932923解得 nN*，所以 k22.同理 k23.(6 分)103若 k24，则由 a44，得 q2，此时 akn2n.因为 akn (kn2)，所以 (kn2)2n，即 kn32n12.2323所以对任何正整数 n，akn是数列an的第 32n12 项，所以最小的公比 q2， 所以 kn32n12.(10 分) 因为 akn2qn1，所以 kn3qn12(q1)2kn43所以当 q1 且 qN 时，所有的 kn3qn12 均为正整数，适合题意； 当 q2 且 qN 时，kn3qn12N 不全是正整数，不合题意，所以 q 为正整数而 6Snkn1有解，所以1 有解
