《元函数极限(定理)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《元函数极限(定理)（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章第一章一元函数极限一元函数极限1.1函数函数一、有界函数定义：设函数在数集有定义，若函数值的集合)(xfAAxxfAf| )()(有上界（有下界、有界），即，则MxfMxfMxfAxM)(,)()(, 0称函数在有上界（有下界、有界）。)(xfA二、奇函数、偶函数定义：函数定义在数集，若，有且)(xfAAxAx，)()()()(xfxfxfxf则称为偶函数（奇函数）。奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称)(xfy。三、周期函数1.2用定义证明极限的存在性用定义证明极限的存在性一、 用定义证明极限二、定义：；aaNnNNaannn, 0lim三、 定理1）存在与都存在，且；)(li
2、mxf ax)(limxf ax)(limxf ax )(limxf ax)(limxf ax2）存在与都存在，且；)(limxf x)(limxf x)(limxf x )(limxf x)(limxf x3），其中；)()()(limxBxfBxf ax 0)(lim x ax4）无穷小与有界函数的积为无穷小；5）有限个无穷小的和或积为无穷小；收敛数列的性质1）唯一性：若数列收敛，则它的极限是唯一的。 na2）有界性：若数列收敛，则数列有界，即。 na naMaNnMn, 03）保序性：若与，且，则。aan n limbbn n limba nnbaNnNN,推论：若与，且，则。aan n
3、 limbbn n lim)(,nnnnbabaNnNNba 函数极限的性质1）唯一性：若在（）收敛，则它的极限是唯一的。)(xfa2）局部有界性：若，则，有。bxf ax )(limaxxM0:, 0, 0Mxf)(若，则，有。bxf x )(limAxxAM:, 0, 0Mxf)(3）保序性：若与，且，则bxf ax )(limcxg ax )(limcb axx 0:, 0，有。)()(xgxf推论：若与，且，有bxf ax )(limcxg ax )(limaxx 0:, 0)()(xgxf（）则。)()(xgxfcb （其它极限形式，可类似给出）二、用Cauchy准则证明极限1）数列
4、收敛。 nanpnaaNpNnNN, 02）极限存在与，有)(limxf ax xaxx0:, 0, 0 xa0 )()(xfxf3）极限存在与，有)(limxf xAxxxA :, 0, 0Ax )()(xfxf三、否定形式四、利用单调有界原理证明极限存在单调有界原理：1、数列单调增加，有上界； nx n nnnxxsuplim存在且 2、数列单调减少，有下界； nx nnnnxxinflim存在且 注：单调不必是严格的；对函数极限有类似结论。五、数列与子列、函数与数列的极限关系1、数列与子列的极限关系、数列与子列的极限关系有 knnnxAx子列 limAx knk limAxxnnnn 2
5、12limlim2、函数与数列的极限关系（海涅定理）、函数与数列的极限关系（海涅定理）：若，则有 ), 2 , 1,()(lim1L naxxAxfnnnaxaxn n limAxfnn )(lim推论1：若存在某个数列，且，而它的函数值数列不存 aaann,aan n lim)(naf在极限，则函数在也不存在极限。)(xfa推论2：若存在两个数列与，与，且 na nb, aanaan n lim, abnabn n lim与，而，则函数在也不存在极限。cafnn )(limdbfnn )(limdc )(xfa六、极限的运算性质数列极限的四则运算：以数列为例，若与都存在，则有nnx limn
6、ny lim、（分母nnnnnnnyxyx limlimlimnnnnnnnyxyx limlimlimnnnnnnnyxyxlimlim lim不为零）若，则。0)(lim xf ax )(1limxfax函数极限的四则运算：若函数与在都收敛，则函数，)(xf)(xga)()(xgxf，也收敛，且)()(xgxf)0)()()(xgxgxf1）； )()(limxgxf ax)(lim)(limxgxf axax2）； )()(limxgxf ax)(lim)(limxgxf axax3），其中。)(lim)(lim)()(limxgxfxgxfaxaxax 0)(lim xg ax（其它极
7、限形式有类似的结论）复合函数极限：设有复合函数，若)(xgf1）；2），有；3）。bxg ax )(lim)(0 aUx)()(0 bUxguAuf bu )(lim则。Axgf ax )(lim注：若连续，则；若与都连续，则。f)()(limbfxgf ax fg)()(limagfxgf ax 1.3求极限限的若干方法求极限限的若干方法一、利用等价代换无穷小的比较：1）设，若，0)(, 0)(lim)(lim xgxgxf axaxbxgxfax )()(lim、时，称与是时的同阶无穷小；0b)(xf)(xgax 特别地，时，称与是时的等价无穷小，记为1b)(xf)(xgax ；)()(a
8、xxgxf、，称是当时的高阶无穷小，记为0b)(xf)(xgax )()(axxgoxf；（其它极限形式类似）2）设是正常数，称是关于的阶无穷小。, 0)(lim 0 bxxfx)(xfx结论：设，且当时，0)(, 0)(, 0)(lim)(lim)(lim)(lim xxgxxgxxf axaxaxaxax 存在，则),()(),()(xxgxxf)()(limxxax)()(lim)()( )()( )()(lim)()(limxx xgx xx xxf xgxfaxaxax 因此，表达式中因子可用等价因子代替，极限不变，常用等价无穷小有：当时，0x1)1ln(arctanarcsinta
9、nsinxexxxxxx；2 21cos1 ,1)1 ( ,ln1xxbxxaxabx二、利用已知极限以极限为例进行说明exxx )1 (lim 01、若，cxgbxfxf axax )(lim,)(lim, 0)(则；cbcxfxgxfxgaxxgaxbeeexfaxln)(ln)(lim)(ln)()(lim)(lim2、若，axgxfxgxf axaxax )()(lim,)(lim, 0)(lim则axgxfxfaxxgaxexfxf)()()(1 )()(1 (lim)(1 (lim三、利用变量替换求极限为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量。四
10、、两边夹法则1）设是三个数列，若有，且 nnncba,NnNN,nnncba，则。lcannnn limlimlbn n lim注：缩放适度，使前后极限相同。五、求极限的其它方法1、LHospital（洛必达法则）（洛必达法则）1）使用前检查类型；2）洛必达法则只是充分条件，使用后算不出结果，不等于极限不存在；例：。xxxxxcossinlim3）型的洛必达法则使用时，只需检验分母趋向无穷大即可，分子不趋向没有关系。2、利用、利用Taylor公式求极限公式求极限常用的初等函数的麦克劳林公式：1）；10 ,)!1(! 2! 1112 xnn xenx nxxxeL2）；10 ,cos)!12()
11、 1()!12() 1(! 3sin1212 13 xkx kxxxxk kk kL3）；10 ,cos)!22() 1()!2() 1(! 21cos22 122 xkx kxxxk kk kL4）；)() 1(2)1ln(12 nn nxonxxxxL5）。)(!) 1() 1( ! 2) 1(1)1 (2nnxoxnnxxxLL3、利用积分定义求极限、利用积分定义求极限例1、；（中国科学院，中国科技大学等）)1 21 11(limnnnnnL解：，2ln11111lim)1 21 11(lim101 dxx nknnnnnnknnL4、利用级数求解问题、利用级数求解问题利用收敛级数的一般
12、项趋向于零；5、利用连续性求极限、利用连续性求极限6、综合性例题、综合性例题1.6实数及其基本定理实数及其基本定理一、闭区间套定理设有闭区间列，若,nnba1）；LL,2211nnbababa2）；0)(lim nnnab则存在唯一实数 属于所有的闭区间，且。llabnnnn limlim二、确界定理定义：设是非空数集，若，且ER1），有；Exx2），有；Ex 0, 00x则称是数集的上确界，记为E（supremun的缩写）Esup定义：设是非空数集，若，且ER1），有；Exx2），有；Ex 0, 00x则称是数集的下确界，记为E（infimum的缩写）Einf定理（确界定理）若非空数集有上界（下界），则数集存在唯一的上确界（下确界）。EE三、有限覆盖定理设是一个区间（或开或闭），并有开区间集，若有，则ISSIx,x称开区间集覆盖区间。SI定理：若开区间集覆盖闭区间，则中存在有限个开区间也覆盖了闭区间S,baS。,ba四、聚点定理定义：设是数轴上的无限点集，是数轴上的一个定点。若，都含E0),(U有的无限多个点，则称是的聚点。EE是的聚点，有。EEx, 0),(0 Ux聚点定理：数轴上有界无限点集至少有一个聚点。E五、致密性定理有界数列必有收敛的子数列。 na kna六、柯西收敛准则数列收敛，有。 naNmnNN, 0mnaa
