《常微分方程》自学指导书

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1、1常微分方程常微分方程自学指导书自学指导书一、课程编码、适用专业及教材课程编码、适用专业及教材 课程编码：110621211 总学时：90 学时， 其中面授学时：28 学时， 自学学时： 62 学时。 适用专业：数学与应用数学专业（函授本科） 使用教材：王高雄等编，常微分方程，高等教育出版社（第二版） ，1983. 9。二、课程性质课程性质 常微分方程科程是高等院校数学专业在数学分析和高等代数基础上继续深入和发展的 一门专业基础课，是对从实际应用中总结出来的微分方程的简单的处理方法和实际求解， 特别是对于不能求解的微分方程的处理，更是用现代数学思想解决实际问题的一个缩影。 它是学习和应用现代数

2、学必不可少的基础知识之一。三、本课程的地位和作用本课程的地位和作用 该课程通过简单的介绍微分方程的起源，微分方程的求解及对不可求解的微分方程进 行有效处理，从而了解微分方程的解的性质。本课程重在讨论微分方程解的基本理论，特 别是解的存在唯一性、解对初值的连续依赖性，解对初值和参数的可微性等，同时对一般 的线性微分方程及微分方程组的解法与性质作了较为详细的论述。这就为进一步的学习和 研究微分方程及其应用打下必要的基础。四、学习目的和要求学习目的和要求 常微分方程是一门集理论性计算性于一体，以理论研究为主的学科。它主要应用数学 分析和高等代数的一些基本知识，对微分方程的求解，线性微分方程及方程组的

3、基本理论 进行详细的讨论。既能锻炼学生的理论推理，也锻炼学生的计算。这就要求学生在学习本 学科的同时不要忘记和前面学过的数学分析和高等代数相结合，掌握常微分方程的基本性 质和求解问题。五、本课程的学习方法本课程的学习方法 本课程介绍的内容比较多，特别是各个章节之间有着一些相应的联系，有的内容课本 上只是简单的介绍，这就需要在学习这一部分的同时要联系考虑前面的知识用前面的方法 进行改进处理，比如在高阶微分方程及微分方程组解的基本理论的时候只是简单的代过， 因为其 方法和前面的一阶微分方程的处理理论完全一样，只是更加繁琐，所以在学习这一部分知 识时要和一阶微分方程的基本理论进行对照比较。再比如用常

4、数变易法求解微分方程和方 程组时，它的思想和前面一阶微分方程类似，但是又有相应的改变，同样对相应的解的性 质方法又有各自的一些特点。所有这些都希望同学们能够对照比较，深入分析，加强对方 程解的理解和掌握。此外，有一些内容会独立处理，方法迥异的，这一部分如后面的第六、2七两章要特别处理学习，掌握其实质，了解其背景。六、自学内容与指导六、自学内容与指导第一章第一章 绪论绪论 （一）自学内容 1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型 了解微分方程的产生及建模，从而对微分方程的物理意义及数学化有个大致的了解。 1.2 基本概念 理解常微分方程，偏微分方程的概念及其区别联系，掌握并深刻理解微分方程的阶数

5、，微 分方程的解，微分方程的隐式解，积分曲线与方向场，方程的通解和特解，线性微分方程 与非线性微分方程，定解问题，初值问题等概念。并能够对于具体问题说明之。 （二）本章重点 本章重点在第二小节的各种概念的理解，这也是本章的难点。特别是对于微分方程的 解的各种表示方法的区别和统一，各种解和方程的关系，实际重要又难以掌握的内容。 （三）学习指导 通过具体例子进行说明，多做练习。 第二章第二章 一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法 （一）自学内容 2.1 变量分离方程与变量变换 掌握什么是变量分离方程，并会求变量分离方程的通解和特解，深刻掌握变量分离方法， 对可化为可分离变量的微分方程的类型

6、及应用举例能够了解。 2.2 线性方程与常数变易法 对于一阶线性方程的判断，转化及求解要熟练掌握， 对于伯努利方程的化为一阶线性微分 方程的方法要掌握，并能够用于计算。深刻掌握常数变易法的思想。 2.3 恰当方程和积分因子 熟练掌握对于恰当方程的判断和几种求解方法，理解并掌握求积分因子的方法，特别是用 观察发求积分因子要熟练掌握并会进行简单的计算。 2.4 一阶隐方程与参数表示 掌握四种类型的一阶隐式方程的求解方法，并会进行简单的计算。 （二） 本章重点 本章的重点是变量分离方程，一阶线性微分方程及恰当方程的求解，与常数变易法。（三） 本章难点 本章的难点是对于不是全微分方程的方程的积分因子的

7、寻找以及一阶隐式方程的求解 计算。 （四） 学习指导 对于各种类型的方程的求解要做到会变形，使之成为前面已知的类型，然后套用前面 的具体方法进行计算。这就要做到对各种类型的方程的形势非常熟悉，学会往这些类型上 靠。 第三章第三章 一阶微分方程的解的存在定理一阶微分方程的解的存在定理 （一）自学内容 3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法3对于解的存在唯一性定理，要掌握利普希茨条件及定理的内容含义，理解各次逼近解的思 想与计算，了解定理的证明方法和基本证明。了解近似计算和误差估计的基本内容。3.2 解的延拓 理解局部与全局利普希茨条件之间的关系。理解什么是饱和解及饱和解的特点。掌握解的 延拓定理

8、及其推论，并能够用来处理简单的饱和解的计算问题。 3.3 解对初值的连续性和可微性定理 了解解对初值的连续依赖性定理和可微性定理的基本内容并明确其意义。了解初值也是一 种参数的思想。 3.4 奇解:了解包络和奇解的概念，知道克莱罗方程的包络和奇解形式。 （二） 本章重点 本章的重点是解的存在唯一性定理与逐步逼近法，及解的延拓。 （三） 本章难点 本章的难点是解对初值的连续性和可微性定理。 （四） 学习指导 把解的存在唯一性定理的证明分成五个相应部分，找出他们的内在联系。把定理的思 想含义搞清楚。 第四章第四章 高阶微分方程高阶微分方程 （一）自学内容 4.1 线性微分方程的一般理论 理解齐次与

9、非齐次线性微分方程的关系，齐次线性微分方程的解的性质与结构，函数组的 线性相关与线性无关及其与相应的伏朗斯基行列式的关系。熟练准确的给出齐次与非齐次 线性 微分方程的通解的结构公式。熟悉对高阶非线性方程的常数变易法的运用。 4.2 常系数线性方程的解法 理解复值函数与复值解的概念，复值函数的极限，连续，导数可微分等概念。对于各种类 型的常系数齐线性方程要会求其特征方程与特解通解等，对于非齐次线性方程至少掌握一 种求解方法。对于质点振动简单了解。 4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法 掌握可降阶的一些方程的类型及降阶方法，有精力的同学可以了解二阶线性方程的幂级数 解法和第二宇宙速度计算。 （二）

10、本章重点 本章的重点是线性微分方程的解的结构和通解的表示，以及常系数线性方程的解法。 （三） 本章难点 本章的难点是二阶线性方程的幂级数解法和第二宇宙速度计算。 （四） 学习指导 学习线性微分方程一般理论时，可以对照前面的一阶线性微分方程所具有的性质和方 法，加以比较学习。常系数线性方程的解法可以进行分类总结，找出规律加以记忆。 第五章第五章 线性微分方程组线性微分方程组（一）自学内容 5.1 存在唯一性定理 方程组的表示，连续，可微分，方程组的解，初值问题等概念，高阶方程与方程组的关系 及转化，存在唯一性定理，范数的概念及函数组的收敛一致收敛。45.2 线性微分方程组的一般理论 齐次与非齐次

11、线性方程组的概念，解的叠加原理，线性相关，线性无关，伏朗斯及行列式， 基本解组，解空间，解矩阵，基解矩阵等概念及其相互关系。齐次与非齐次线性方程组的 解和通解的表示及常数变易法思想。 5.3 常系数线性方程组 矩阵指数的定义及计算，基解矩阵与指数矩阵的关系，矩阵的特征值与特征向量的计算， 齐次常系数线性方程组的基解矩阵及对应的指数矩阵的求法。 （二） 本章重点 本章的重点是线性微分方程组的解的结构和通解的表示，基本解组，解空间，解矩阵， 基解矩阵，以及常系数线性方程组的解法。 （三） 本章难点 本章的难点是常系数线性方程组的解法。 （四） 学习指导 学习线性微分方程组的一般理论时，可以对照前面

12、的一阶线性微分方程和高阶线性微 分 方程所具有的性质和方法，加以比较学习。常系数线性方程组的解法可以根据基解矩阵与 指数矩阵的关系，找出规律加以学习。 第六章第六章 非线性微分方程和稳定性非线性微分方程和稳定性（一）自学内容 6.1 引言 微分方程零解的稳定性，不稳定性，渐近稳定性，全局稳定性，吸引域，稳定域的概念及 判断方法 6.2 相平面 相平面，相空间，轨线，驻定方程组（自治方程组） ，奇点，线性自治方程组的分类。 6.3 按线性近似决定微分方程组的稳定性 特征方程无零根和零实部特征根条件下，自治方程组的稳定性定理。 6.4 李雅普诺夫第二方法 正定，负定的概念，函数关于方程的全导数，函

13、数稳定性与李雅普诺夫函数的关系。 6.5 周期解与极限圈 （选学） 6.6 二次型 V 函数的构造与控制系统的绝对稳定性（选学） （二） 本章重点 本章的重点是微分方程零解的稳定性，不稳定性，渐近稳定性，全局稳定性，吸引域， 稳定域的概念及判断方法。 （三） 本章难点 本章的难点是相平面，相空间，轨线，驻定方程组（自治方程组） ，奇点，线性自治方 程组的分类。 （四） 学习指导 参考有关的书籍进行学习。 第七章一阶线性偏微分方程一阶线性偏微分方程 （选学）5七、自学进度与各章节学时安排自学进度与各章节学时安排自学周数 16 周，每周 4 学时，总计 62 学时。在自学过程中，除了保证自学时间外

14、， 还要多做练习，独立完成作业并分两次寄回学校。最好将各章节后面的有关习题也多一下。注：以下是各个章节学时安排及作业（不包括作业学时）自学进度表周次学时内容学习要求作业14绪论弄清微分方程及解的基本概念P15. 1. 2 (2) (3) (6) 3. (1) (4) (6) 4. 6.2-516一阶微分 方程的初 等解法会解可分离变量的微分方程，一阶线性 方程，全微分方程（恰当方程） ，能够找 出简单的方程的初等因子并求解P30 1. 2. 4. 5. 7. 8. 10. 11. 18. P37. 1. 2. 4. 5. 13. 14. 22. P49. 1.2. 4. 6. 7. 8. 9.

15、 12. 13. P58 1. 2.6-812一阶微分 方程的解 的存在定 理掌握利普希茨条件及存在唯一性定理的 内容含义，理解各次逼近解的思想与计 算，了解定理的证明方法和基本证明。P78 1. 2. 4.（交第一次作业）9-1214高阶微分 方程理解齐次与非齐次线性微分方程的关系， 齐次线性微分方程的解的性质与结构， 函数组的线性相关与线性无关及其与相 应的伏朗斯基行列式的关系。准确的写 出齐次与非齐次线性微分方程的通解的 结构公式及常系数线性方程的通解和特 解。P113 1. 3. 4. 9. P145 2. 4. 5. 6. 10. 11.12-1512线性微分 方程组理解齐次、非齐次线性方程组、解的叠 加原理、线性相关、线性无关、伏朗斯 及行列式、基本解组、基解矩阵等概念， 会求常系数线性方程组的基解矩阵及对 应的指数矩阵。P184 1. 2. P201 1. 6. P236 3. a) c) 4. a) b) c) 5. a) 6. a)154非线性微 分方程和了解微分方程零解的稳定性，不稳定性， 渐近稳定性，全局稳定性，吸引域，稳自选616稳定性定域的概念及判断方法，及函数关于方程的全导数，函数稳定性与李雅普诺夫 函数的关系。（交第二次作业）参考资料参考资料：东北师范大学数学系微分方程教研室编， 常微分方程 ，高等教育出版社， 1982。