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1、22第第 3 3 章章 光学三波耦合过程光学三波耦合过程回答问题：回答问题： 1 1）如何导出二阶非线性效应的三波耦合方程？）如何导出二阶非线性效应的三波耦合方程？2 2）如何表述光学倍频现象？）如何表述光学倍频现象？3 3）如何表述和频与差频现象？）如何表述和频与差频现象？4 4）如何表述光学参量过程？）如何表述光学参量过程？3.13.1 三波耦合方程三波耦合方程本节目的：本节目的：讨论如何利用各向同性介质慢变近似一阶频域波方程，近似地描述各向异讨论如何利用各向同性介质慢变近似一阶频域波方程，近似地描述各向异性晶体介质中的二阶非线性效应。性晶体介质中的二阶非线性效应。 介质条件介质条件：远离
2、共振区；忽略介质的吸收。：远离共振区；忽略介质的吸收。各向异性介质的特点：各向异性介质的特点：光波的传播方向光波的传播方向( () )与能流方向与能流方向( () )不同，其间有一个夹角不同，其间有一个夹角。因。因kHEI为为和和方向间具有夹角方向间具有夹角之故。对于大多数晶体，之故。对于大多数晶体，33o o。DE考虑沿考虑沿 Z Z 方向传播的单色平面波方向传播的单色平面波：波矢波矢沿沿 Z Z 方向，与能流方向，与能流方向有一个夹角方向有一个夹角。沿沿 X X 方向；方向；沿沿kHEIDHY Y 方向，垂直于方向，垂直于、和和组成的平面内。组成的平面内。DEk频率频率的单色平面波的光电场
3、和非线性极化强度分别表示为的单色平面波的光电场和非线性极化强度分别表示为23(3.1.1)()()( )( ,( )( )( , )( )EEePP（i kzti kztNLNLi k ztzz eE z ezz e式中式中为电场方向的单位矢量。为电场方向的单位矢量。e 可将可将和和表示为两个互相垂直的分量之和，即垂直于表示为两个互相垂直的分量之和，即垂直于的横的横),(zE),(zNLPk向分量向分量( (以以T T表示表示) )和平形于和平形于的纵向分量（以的纵向分量（以S S表示）：表示）：k(3.1.2)(3.1.2)( ,)( ,)( ,)EEETSzzz(3.1.3)(3.1.3)
4、( , )( , )( , )NLNLNLTSzzzPPP横向分量遵循各向同性介质的慢变振幅近似频域波方程横向分量遵循各向同性介质的慢变振幅近似频域波方程 (3.1.4)(3.1.4)0( )( )2EPNLi kzTTziz ezcn在方程在方程 (3.1.4)(3.1.4) 的两边分别点乘的两边分别点乘。利用。利用e 2coscose ETTEE及及，PPNLNLT则得则得。(3.1.5)(3.1.5)20( )( )2cose PNLi kzE ziz ezcn这是这是各向异性介质的慢变振幅近似波方程各向异性介质的慢变振幅近似波方程。若取近似。若取近似，则，则(3.1.5)(3.1.5)
5、变变1cos2为为(3.1.6)(3.1.6)0( )( )2e PNLi kzE ziz ezcn式中式中 （次场波矢原场波矢）（次场波矢原场波矢） 。kkk对二阶非线性介质，两光波场对二阶非线性介质，两光波场和和作用于介质，引起二阶极化，作用于介质，引起二阶极化，)(1E)(2E产生新波场产生新波场。这是一个和频过程，三个波的频率满足关系。这是一个和频过程，三个波的频率满足关系。)(3E213事实上还存在着差频关系事实上还存在着差频关系和和。23113224三波互相耦合时，三种频率的光子必须满足三波互相耦合时，三种频率的光子必须满足能量守衡定律能量守衡定律：。(3.1.7)(3.1.7)2
6、13hhh要实现三波的最佳耦合，三种频率的光子还必须满足要实现三波的最佳耦合，三种频率的光子还必须满足动量守衡定律动量守衡定律：。(3.1.8)(3.1.8)213kkkhhh 频率为频率为、的三个沿的三个沿 z z 方向传播的单色平面波场，互作用产生的方向传播的单色平面波场，互作用产生的123二阶非线性极化强度分别为（简并因子二阶非线性极化强度分别为（简并因子）2D ，(3.1.9)(3.1.9)(2)(2)*1012323( ,)2(;,):( ,)( ,)PEEzzz ，(3.1.10)(3.1.10)(2)(2)*2023131( ,)2(;,):( ,)( ,)PEEzzz 。(3.
7、1.11)(3.1.11)(2)(2)3031212( ,)2(;,):( ,)( ,)PEEzzz 将三个电场分别记为将三个电场分别记为，和和，则有，则有111( ,)EezE222( ,)Ee E z333( ,)zeEE ，(3.1.12)(3.1.12)(2)(2)*101232323 ( )2(;,):zE EPe e ，(3.1.13)(3.1.13)(2)(2)*202313 131 ( )2(;,):zE EPe e 。 (3.1.14)(3.1.14)(2)(2)303121 212 ( )2(;,):Pe ezE E 式式(3.1.12)(3.1.12)(3.1.14)(3
8、.1.14)分别描述差频与和频过程。将此三式分别代入式分别描述差频与和频过程。将此三式分别代入式（3.1.63.1.6） ，得到，得到(3.1.15)(3.1.15)(2)*11112323231( ) (;,):ee ei kzdE ziE E edzcn (3.1.16)(3.1.16)(2)*2222313 1312( ) (;,):ee ei kzdEziE E edzcn (3.1.17)(3.1.17)(2)3333121 2123( ) (;,):ee ei kzdE ziE E edzcn 根据极化率的频率置换对称性，得到根据极化率的频率置换对称性，得到(2)(2)(2)(2)
9、11232322313 133121 2 (;,):(;,):(;,):ee eee eee eeff (3.1.18)(3.1.18)这里这里是实数，称为有效非线性极化率，用以量度三个波之间的耦合强度。是实数，称为有效非线性极化率，用以量度三个波之间的耦合强度。(2)eff这样，可把极化率的三个分量写成如下标量形式这样，可把极化率的三个分量写成如下标量形式 ，(3.1.19)(3.1.19)(2)(2)123112323 (;,)(;,):ee e ，(3.1.20)(3.1.20)(2)(2)23122313 1 (;,)(;,):ee e 25 。 (3.1.21)(3.1.21)(2)
10、(2)1233121 2 ( ;,)(;,):ee e 而三波混频的慢变近似耦合波方程可写成而三波混频的慢变近似耦合波方程可写成 ，(3.1.22)(3.1.22)(2)*11123231( )(;,)i kzE ziE E ezcn ，(3.1.23)(3.1.23)(2)*22231312( )(;,)i kzEziE E ezcn ， (3.1.24)(3.1.24)(2)33312123( )(;,)i kzE ziE E ezcn 式中相位失配因子为式中相位失配因子为。 (3.1.25)(3.1.25) 123kkkk 对于方程对于方程(3.1.22)(3.1.22)、(3.1.23
11、)(3.1.23)和和(3.1.24)(3.1.24)，的含义分别是的含义分别是: :k(3.1.22),(3.1.22), 差频差频132123()kkkkkkk (3.1.23),(3.1.23), 差频差频132123()kkkkkkk (3.1.24),(3.1.24), 和频和频123312()()kkkkkkk 若若，则三波是相位匹配的，三个光子满足动量守恒。，则三波是相位匹配的，三个光子满足动量守恒。0k 3.23.2 光学二次谐波光学二次谐波光学二次谐波（光学倍频）是三波混频的一种特例，也是最早发现的一种光学二次谐波（光学倍频）是三波混频的一种特例，也是最早发现的一种非线性光学
12、现象。非线性光学现象。19611961 年年 FrankenFranken 等人发现倍频现象的实验装置如下图。等人发现倍频现象的实验装置如下图。现在倍频效应的应用已比较成熟，比如常用于把现在倍频效应的应用已比较成熟，比如常用于把 Nd:YAGNd:YAG 激光器发出的激光器发出的1.061.06m m 波长的红外激光变换为波长的红外激光变换为 532nm532nm 波长的绿色激光。波长的绿色激光。频率为频率为的单色平面光波通过长度为的单色平面光波通过长度为L L的倍频晶体，产生频率为的倍频晶体，产生频率为的倍频的倍频2光，假设晶体对这两种光都没有吸收，光，假设晶体对这两种光都没有吸收， 26以下讨论晶体输出倍频光强度和倍频转换效率。分两种情况研究：一种是以下讨论晶体输出倍频光强度和倍频转换效率。分两种情况研究：一种是不消耗基频光的小信号近似情况；另一种是消耗基频光的高转变效率情况。不消耗基频光的小信号近似情况；另一种是消耗基频光的高转变效率情况。3.2.13.2.1小信号近似小信号近似 采用三波耦合方程采用三波耦合方程(3.1.22)-(3.1.24)(3.1.22)-(3.1.24)，设，设，。2123由于在小信号近似下，由于在小信号近似下， 随随z z的变化可以忽略，得到的变化可以忽
