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1、460从一道省质检试题来探讨圆锥曲线的定义与应用一、圆锥曲线原始定义的由来2000 多年前，古希腊学者为了解决几何三大作图问题中的倍立方问题（求的322ax 根） ，开始研究圆锥曲线古希腊数学家门内马斯取三个顶角分别是直角、锐角、钝角的圆 锥，各作一个平面垂直于每一个圆锥的一条母线，并且与圆锥相截他把所得到的三条曲 线分别叫做“直角圆锥截线” 、 “锐角圆锥截线” 、 “ 钝角圆锥截线” 事实上，这就是现代 的抛物线、椭圆和一支等轴双曲线而且门内马斯发现了圆锥曲线的一些主要性质，并且 利用圆锥曲线来解决倍立方问题 门内马斯的著作现已失传，仅在其它数学家的著作中有所引用和评论公元前 3 世纪，
2、欧几里德的著作圆锥曲线理论问世，对圆锥曲线作了一定的研究，可惜后来也失 传数学家阿基米德在抛物线的求积一书中，论证了任何直线截抛物线的面积等于同底同高的三角形面积的，证明了抛物线弓形的面积公式希腊数学家阿波罗尼则在圆34锥曲线论一书中，用综合法对圆锥曲线作了全面而又系统的研究，这本书几乎搜罗了圆 锥曲线所有的性质，形成了较为完备的圆锥曲线的初等理论他推导过的很多圆锥曲线性 质的做法，实际上相当于我们现在利用坐标系和方程推出曲线性质的做法他首先证明了 圆锥曲线可以是平面和任意圆锥面的截线，同时还提出用同一个圆锥，只要改变截面的位 置就可以产生三种圆锥曲线，并且给出了三种曲线的名称公元 3 世纪，
3、帕普斯在他的著 作数学汇编中，证明了圆锥曲线的焦点、准线和离心率的性质，给出了“与定点及定 直线的距离为定比的点的轨迹是一条圆锥曲线”的论证 17 世纪，生产发展的需要推动了天文学、力学和光学的发展公元 1609 年，德国天 文学家开普勒发现天体运行的轨迹是椭圆；意大利物理学家伽利略得到抛掷物体的轨迹是 抛物线；法国科学家道多尔日扩展了圆锥曲线在光学中的应用，推动了圆锥曲线的进一步 深入研究17 世纪初期， ；法国数学家笛卡尔和费马创立了解析几何，用坐标和方程来研 究圆锥曲线 从此以后，由于各种坐标制的建立，以及数学分析和其他学科的影响，圆锥曲线在理 论上更加完善，在实践中也得到了更加充分的应
4、用 事实上，我们知道：从立体几何的角度来看，用一个与圆锥的轴不垂直的平面（不经 过圆锥顶点的平面）去截该圆锥，随着截面与圆锥的轴的夹角变化时，可以得到不同的截 口曲线（截面与圆锥侧面的交线） ，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线，具体说来就是： 一个圆锥被一个不经过圆锥顶点的平面所截，当平面与圆锥底面不平行时，且与圆锥 的所有母线都相交，则截得的曲线为椭圆； 一个圆锥被一个不经过圆锥顶点的平面所截，当平面与圆锥底面不平行时，且只与圆 锥的一条母线平行，则截得的曲线为抛物线； 对顶圆锥被一个不经过圆锥顶点的平面所截，当平面与圆锥底面不平行时，且与两部 分圆锥都相交，则截得的曲线为双曲线 当然，如果截
5、圆锥的平面过顶点，则相应截得点、直线、相交线 我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线圆锥曲线因此而得名当用一个 与圆锥的轴垂直的平面（不经过圆锥面顶点的平面）去截该圆锥，得到的截口曲线为圆， 这也就是较早以前教科书把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线的原因 有关图形参阅新教材圆锥曲线的章首图461二、圆锥曲线的各自定义（包括实平面、复平面及向量） （称为圆锥曲线第一定义）（1）椭圆的定义： 动点到平面内两个定点的距离的和为定值的点的轨迹（a）在实平面直角坐标系下表示为：aMFMF2|21（i）当时，M 的轨迹为以，为焦点，长轴长为，焦距为的|221FFa 1F2Fa2c2椭圆；（ii
6、）当时，M 的轨迹为以，为端点的线|221FFa 1F2F段；（iii）当时，M 的轨迹不存在|221FFa (b)在复平面直角坐标系下表示为：aZZZZ221（i）当时，则方程表示的轨迹是以，为焦点，长轴长为，焦距a221ZZ1Z2Za2为=的椭圆；21ZZc2（ii）当时，则方程表示的轨迹是以，为端点的线段；a221ZZ1Z2Z（iii）当时，则方程不表示任何图形a221ZZ（c）在向量中相应的表示为：aMFMF221（i）当时，则方程表示的轨迹是以，为焦点，长轴长为，焦距a221FF1F2Fa2为的椭圆；c2（ii）当时，则方程表示的轨迹是以，为端点的线段；a221FF1F2F（iii）
7、当时，则方程不表示任何图形a221FF(2)双曲线的定义： 动点到平面内两个定点的距离的差的绝对值为定值的点的轨迹(a)在实平面直角坐标系下表示为：aMFMF2|21（i）当时，M 的轨迹为以，为焦点，实轴长为，焦距为的|221FFa 1F2Fa2c2双曲线；（ii）当时，M 的轨迹为以，为端点的线段两侧的两条射线；|221FFa 1F2F462（iii）当时，M 的轨迹不存在；|221FFa （iv）当（）中，没有绝对值时，表示双曲线的一aMFMF2|21|221FFa 支(b)在复平面直角坐标系下表示为：aZZZZ221（i）当时，则方程表示的轨迹是以，为焦点，实轴长为，焦距21ZZa21
8、Z2Za2为=的双曲线；21ZZc2（ii）当时，则方程表示的轨迹是以，为端点的线段两侧的两条射21ZZa21Z2Z线；（iii）当时，则方程不表示任何图形21ZZa2（c）在向量中相应的表示为：aMFMF221（i）当时，则方程表示的轨迹是以，为焦点，实轴长为，焦距21FFa21F2Fa2为的双曲线；c2（ii）当时，则方程表示的轨迹是以，为端点的线段两侧的两条射21FFa21F2F线；（iii）当时，则方程不表示任何图形21FFa2(3)抛物线的定义： 平面内动点与定点的距离和它到一条定直线的距离相等的点的轨迹(a)在实平面直角坐标系下表示为：=MFFMxx（i）若定点不在定直线上，则动点
9、的轨迹是以定点为焦点，以定直线为相应准线的抛 物线 （ii）若定点在定直线上，则动点的轨迹是过动点且垂直于定直线的一条直线(b)在复平面直角坐标系下表示为：)Re(00zzzz依据圆锥曲线原始定义的由来，我们就可以得到：三、圆锥曲线的统一定义（称为圆锥曲线第二定义）：平面内动点 M 与定点 F 的距离和它到一条相应的定直线 L（定点 F463不在定直线 L 上）的距离的比是常数 e（i）当时，动点 M 的轨迹是椭圆，当趋向于 1 时，椭圆越来越扁平，极10 ee 限（退化）为一条线段，当趋向于 0 时，椭圆越来越圆，极限（退化）为圆；e（ii）当时，动点 M 的轨迹是抛物线；1e (iii)当
10、时，动点 M 的轨迹是双曲线，当越来越大时，双曲线的张口也越来越1ee 大，当趋向于 1 时，双曲线张口就越来越小，极限（退化）为两条射线e（当然，也有人认为，当时，动点 M 的轨迹是圆 ）0e 此时定点 F 为焦点，定直线 L 为相应的准线，常数 e 为离心率 在极坐标系下，我们也可以得到：（a）若以原点为极点，以轴的正半轴为极轴的圆锥曲线的极坐标方程为：Ox椭圆： 的极坐标方程为：)0( 12222 baby ax 222222 2 cossinbaba 双曲线：的极坐标方程为：)0, 0( 12222 baby ax 222222 2 sincosabba 抛物线：（）的极坐标方程为：p
11、xy220p22 sincos2p（b）若以圆锥曲线的焦点为极点，以焦点到准线的线段的反向延长线为极轴的圆锥曲线统一的极坐标方程为：cos1eep 值得注意的是： （i）为焦参数，即焦点到相应准线的距离，对抛物线来说，极坐标方程中的就是pp中的，它表示抛物线开口的宽窄程度；对椭圆和双曲线来说，pxy22pcbp2 （ii）的数值就是圆锥曲线的通径的一半，=epepab2（iii）表示圆锥曲线的离心率，对椭圆来说就是刻画其扁平程度；对双曲线来说就是其e 张口的宽窄程度（iv）表示动点的极坐标，是动点到极点的距离；是极径与极轴正方向的夹),(角如果允许，对于双曲线来说就表示整个双曲线，否则就表示单
12、支0（v）对椭圆来说（以左焦点为极点） ，)()0(2a)()0(2c对双曲线来说（以右焦点为极点） ，)()0(2a)()0(2c464对抛物线来说（以焦点为极点） ，)(2p四、从教科书引申出来的圆锥曲线定义（称为圆锥曲线第三定义）在平面内，动点与两个定点 ， 的连线的斜率之积MAB为定值 （） f0f（i）当时，则动点 M 的轨迹是双曲线（除去点 ，0fA） ；B（ii）当，且， ，则动点 M 的轨迹是椭圆（除0f1f去点 ， ） ；AB（iii）当时，则动点 M 的轨迹是圆（除去点 ，1fA） B具体说来就是：（i）定点，动点，若满足：)0(，aA )0( ，aB)(yxM，（，） 2
13、2abkkfBMAM0a0b则动点 M 的轨迹是分别以，为实轴及虚轴，焦点在轴的双曲线（除去点，a2b2xA ） ；B（ii）定点，动点，若满足：)0(，aA )0( ，aB)(yxM，（） 22abkkfBMAM0 ba则动点 M 的轨迹是分别以，为长轴及短轴，焦点在轴的椭圆（除去点，a2b2xA ） ；B（iii）定点，（） ，动点，若满足：)0(，aA )0( ，aB0a)(yxM，1BMAMkkf则动点 M 的轨迹是以为直径的圆（除去点，） ABAB 非常有趣的是：在平面内，动点与两个定点，的连线的斜率之差为定值)(yxM，)0(，aA )0( ，aB465（） ，则其轨迹是抛物线f0
14、f在平面内，动点与两个定点，的连线的斜率之商为定值)(yxM，)0(，aA )0( ，aB（，） ，则其轨迹是直线f0f1f事实上，圆锥曲线第一、第二、第三定义之间有着密切的联系，这得从教材的椭圆的 标准方程的推导过程说起： 我们知道：由椭圆的第一定义易得aycxycx2)()(22222222)(2)(yccaycx222)(ycxacxa)()(22222222caayaxca122222 cay ax令代入（为了简洁及和谐）222cab（） 12222 by ax0 ba上述推理就是过去和现在的教科书的证明过程，其过程显得复杂！我们从另一个角度， 构造对偶式，则显得简洁得多我们构造的对偶
15、式为 tycxycx2222)()(由与相乘得到acxt2再由与相加得到aycx2)(222 acx2)()(22222222caayaxca 122222 cay ax这就是在第一定义下得到的椭圆的标准方程 非常有意思的是，如果我们再从另一个角度，构造等差数列就得到以下独特的推理过 程： 由上述式可得，2)(ycxa2)(ycx构成等差数列（即构造等差数列） ，即令466=，=（） 2)(ycxta 2)(ycxta ata上述两式平方后相加、相减得到，22222caytxacxt 代入即可推出（令）222cab（） 12222 by ax0 ba这就是在第一定义下从不同的角度推得的椭圆的标准方程 如果我们注意到可以变形为22)(ycxxaca xca ac2 22)(ycx eacxcaycx222)(此时具有明显的几何意义：动点 M 与定点 F 的
