52 数学通讯…2ol4年第11、12期(上半月) ·辅教导学· 一道值得商榷的调考试题 李红春 (湖北省武汉市黄陂区第一中学盘龙校区，430312) 立体几何中的三视图是高中数学课改后的新 增内容，也是高考的重点，近年来，频繁出现在高 考和调考试卷中，笔者最近在研究武汉市2013年 高三九月调考理科数学试题时，发现选择题第6题 是一道“问题”试题，答案值得商榷，然而不少考卷 和复习资料书上却引用此题，为了避免以讹传讹， 笔者下面谈谈自己的一些思考． 题目 一个几何体的三视图如图1所示，贝 该几何体的体积是 ( ) (A)64． (B)72． (C)80． (D)112． ＼／ f 4 I —·}—一4————，·一 ——t———一4————— 图1 参考答案 这是一个组合体，下方是棱长为4 的正方体，上方为一个直三棱锥，如图2所示，显然其 体积为 ===4{× 1 x 4x 4×3—72,故选(B)． C 图2 图3 其实，图2所示的几何体是符合题意的，但符 合题意的几何体并非唯一，原几何体的上方可能 为直四棱锥，如图3所示，此时体积为：V一4十 号x 1×(2十4)×4 X 3—76． 由三视图并不能完全确定实物图，下面再看 一个典型的例子： 如图4，某几何体的正视图、俯视图、侧视图均 为正方形，则其对应的几何体可能为正方体切去 左上角剩下的部分，如图5所示；亦可能为正方体 同时切去左上角与右下角的部分，如图6所示． 图4 图5 图6 建议今后将这道调考试题改编为如下填空题： 一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体的 体积可能是 (将正确的序号填在横线上)． ①64；②72；③76；④80；⑤112． 正确答案：②③． 另外，原题可作如下变式． 变式1 将图1侧视图中的虚线去掉，其它不 变，则原几何体如图7所示，上方为右侧面垂直于底 1 面的四棱锥，其体积为：V一4。
妄×4 ×3—8O． ·辅教导学· 数学通讯——2Ol4年第11、12期(上半月) 53 图7 图8 变式2 将侧视图虚线改为实线，其它不变， 则原几何体如图8所示，上方为有一条侧棱公共的 两个小的直三棱锥组合构成，其体积为：V一4 ‘ 1×丢×2×4×3)×2—72． 总之，三视图确定，立体几何图形并非完全确 定，所以平常命题时要格外小心．另外试题命制过 程中即使出现了一些“问题试题”，我们也不应一 弃了之，要“取其精华，去其糟粕”，如果能分析出 其中的错因，这必将对我们提高思维的严密性、养 成细心谨慎的习惯大有帮助! 两道选择题“流行解法 陈新伟 (山东省宁阳第一中学，271400) 2014年全国高考江西卷理科第1O题、2012全 国卷理科第12题均是选择题的最后一题，是所属 试卷中的选择题的“把关题”．因两题均为选择题， 在高考试题答案中，考试机构只给出了两题的正 确选项，并没有给出详细解答．笔者查阅了含有两 题详解的现有的出版物及各类高三复习资料，发 现题目的解答几乎如出同辙，网络上对两题的探 讨较少，给出类似详解传播也较为广泛．针对两题 流行解法，细细推敲，感觉其解法尚有值得商榷 之处． 1．2014年全国高考江西卷理科数学第lO题 流行解法的修正 题目1如下图，在长方体ABCD-A B GD1中， AB=11，AD一7，AA =12，一质点从顶点A射向点 E(4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原 理)，将i一1次到第 次反 射点之间的线段记为L ( ==：2，3，4)，L1一AE，将线 段L。
L2，L，L4竖直放置 在同一水平线上，则大致的 图形是 ( ) (收稿日期：2014—09一O9) ’’的修正 A B D 流行解法 先根据条件确定所求的截面，再 进一步根据相关图形求解相关线段的长度．由光 的反射定律，入射、反射光线及法线在同一个平面 上．如图1，设其反射点依次为F、G、H，则F、G、H 必在平面AA E内，设平面AA E与CD交于N， 与C D 交于M，如图2，则有L一AE=13，L 一 EF一13，L一FG： ，L 一GH一 ．所以L 0 o —L2>L >L故选(C)． 追问 反射点H必在平面AA E内的根据是 什么? 图l 8 G 4 5 F 5 N 3 图2 。