《1981年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）试卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1981年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）试卷（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 10 页19811981 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (全国卷全国卷) )数学（理工农医类）数学（理工农医类）一、设一、设A A表示有理数的集合表示有理数的集合,B,B表示无理数的集合表示无理数的集合, ,即设即设A=A=有理数有理数,B=,B=无理数无理数,试写试写 出出:(1)AB,(2)AB:(1)AB,(2)AB。二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写 出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举 结果。三、下表所列各小题中三、下表所列各小题中, ,指出指出
2、A A是是B B的充分条件的充分条件, ,还是必要条件还是必要条件, ,还是充要条件还是充要条件, ,或者都或者都 不是。不是。第 2 页 共 10 页四、写出余弦定理四、写出余弦定理( (只写一个公式即可只写一个公式即可),),并加以证明。并加以证明。五、解不等式五、解不等式(x(x为未知数为未知数):):六、用数学归纳法证明等式六、用数学归纳法证明等式对一切自然数对一切自然数n n都成立。都成立。第 3 页 共 10 页七、设七、设19801980年底我国人口以年底我国人口以1010亿计算。亿计算。 (1)(1)如果我国人口每年比上年平均递增如果我国人口每年比上年平均递增2%,2%,那么到
3、那么到20002000年底将达到多少年底将达到多少? ? (2)(2)要使要使20002000年底我国人口不超过年底我国人口不超过1212亿亿, ,那么每年比上年平均递增率最高是多少那么每年比上年平均递增率最高是多少? ? 下列对数值可供选用下列对数值可供选用: : lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417 lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720 lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060八、在120的二面角P-a-
4、Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a 的距离分别为2和4,且线段AB=10. (1)求直线AB和棱a所成的角; (2)求直线AB和平面Q所成的角.第 4 页 共 10 页(1)(1)过点过点A(2,1)A(2,1)的直线的直线l l与所给双曲线交于两点与所给双曲线交于两点P1P1及及P2,P2,求线段求线段P1P2P1P2的中点的中点P P的轨迹方的轨迹方 程程. . (2)(2)过点过点B(1,1)B(1,1)能否作直线能否作直线m,m,使使m m与所给双曲线交于两点与所给双曲线交于两点Q1Q1及及Q2,Q2,且点且点B B是线段是线段Q1Q2Q1Q2的的 中点中点?
5、?这样的直线这样的直线m m如果存在如果存在, ,求出它的方程求出它的方程; ;如果不存在如果不存在, ,说明理由说明理由. .十、附加题十、附加题: :计入总分计入总分. . 已知以已知以ABAB为直径的半圆有一个内接正方形为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,CDEF,其边长为其边长为1(1(如图如图).). 设设AC=a,BC=b,AC=a,BC=b,作数列作数列 u1=a-b,u1=a-b, u2=a2-ab+b2,u2=a2-ab+b2, u3=a3-a2b+ab2-b3,u3=a3-a2b+ab2-b3, , uk=ak-ak-1b+ak-2b2-+(-1)kbk;uk=ak-ak
6、-1b+ak-2b2-+(-1)kbk; 求证求证:un=un-1+un-2(n3).:un=un-1+un-2(n3).第 5 页 共 10 页19811981 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (全国卷全国卷) )数学（理工农医类）参考答案数学（理工农医类）参考答案一、解一、解: :(1)AB=实数.(或AB=R,或AB=实数集合.) (2)AB=.(或AB= ,或AB=空集.) 二、解二、解: :所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写) AB,AC,AD,BC,BD,CD, BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果: ABC,ABD,
7、ACD,BCD. 三、解三、解: : (1)必要条件 (2)充分条件 (3)充分条件 (4)充要条件 四、四、公式:设ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2- 2bccosA. 证法一证法一: :平面几何证法. 如果A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得 a2=CD2+DB2 =(bsinA)2+(c-bcosA)2 =b2+c2-2bccosA.如果A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得 a2=CD2+BD2 =bsin(180-A)2+c+bcos(180-A)2 =b2+c2-2bccosA.如果A是直角,c
8、osA=0, a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA. 证法二证法二: :解析几何证法第 6 页 共 10 页以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得 A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA). 由两点间的距离公式得 a2=BC2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2 =b2+c2-2bccosA.五、解五、解: :原行列式可逐步简化如下:故原不等式为 x2(x-a-b-c)0. 原不等式的解是 x0,xa+b+c.所以当n=1时等式成立. (ii)假设当n=k时等式成立,即所以当n=k+1时等式也成立.第 7 页 共 10 页根据(i)和(ii),就证
9、明了对于一切自然数n等式都成立. 七、解七、解: :(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 101.02, 10(1.02)2,的第21 项,即 x=10(1.02)20, 两边取对数,得 lgx=1+20lg1.02=1.17200, x=14.859(亿). 答:到2000年底我国人口将达到14.859亿. (2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得 10(1+y%)2012, 即 (1+y%)201.2. 根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得 20lg(1+y%)lg1.2. 即 lg(1+y%)0.00396. 1+y%1.0092,y%0.0092. 答:每
10、年比上年人口平均递增率最高是0.92%. 八、解八、解: :(1)在平面P内作直线ADa于点D;在平面Q内,作直线BEa于点E,从点D作a 的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.ABC等于AB和a所成的角. ADC为二面角P-a-Q的平面角, ADC=120.又AD=2,BCDE为矩形, CD=BE=4. 连结AC,由余弦定理得又因ADa,CDa,所以a垂直于ACD所在的平面.再由BCa得知BC垂直于ACD所 在的平面,BCAC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在ACD所在的平面内,作AFCD交CD的延长线于F点.因为ACD所在的平面平 面Q,AF平面Q.在ADF中,ADF=60,AD=2
11、,第 8 页 共 10 页连结BF,于是ABF是AB和平面Q所成的角,而ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为九、解法一九、解法一: :(1)设直线l的方程为 y=k(x-2)+1,(i) 将(i)式代入双曲线方程,得 (2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0,(ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程. (2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得 (2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0,(iii)第 9 页 共 10 页由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以()无解. 答:满足题中条件的直
12、线m不存在. 解法二解法二: :(1)设l的参数方程为其中t是参数,为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得: (2cos2-sin2)t2+2(4cos-sin)t+5=0.(v)(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论. 十、证法一十、证法一: :通项公式可写为 uk=ak-ak-1b+ak-2b2-+(-1)kbk因 a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1, ab=ACBC=CD2=1.第 10 页 共 10 页于是有证法二证法二: :由平面几何知识算出通项公式可写为要证un=un-1+un-2成立,只要证明 an+1-(-1)n+1bn+1=an-(-1)nbn+an-1-(-1)n-1bn-1, 即 an-1a2-(-1)n-1bn-1b2=an-1a+(-1)n-1bn-1b+an-1-(-1)n-1bn-1, 或或上式确是等式,故证得 un=un-1+un-2.
