《1980年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）试卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1980年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）试卷（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 9 页19801980 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (全国卷全国卷) )数学（理工农医类）数学（理工农医类）一、将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式: (1)有理数范围(2)实数范围(3)复数范围二、半径为1、2、3的三个圆两两外切。证明:以这三个圆的圆心为顶点的三角形是 直角三角形。三、用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点。三、用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点。第 2 页 共 9 页(a、b、N都是正数,a1,b1)五、直升飞机上一点五、直升飞机上一点P P在地平面在地平面M M上的正射影是上的正射影是A.A.从
2、从P P看地平面上一物体看地平面上一物体B(B(不同于不同于A),A), 直线直线PBPB垂直于飞机窗玻璃所在的平面垂直于飞机窗玻璃所在的平面N(N(如图如图).).证明证明: :平面平面N N必与平面必与平面M M相交相交, ,且交线且交线l l 垂直于垂直于AB.AB.(1)(1)写出写出f(x)f(x)的极大值的极大值M M、极小值、极小值m m与最小正周期与最小正周期T;T; (2)(2)试求最小的正整数试求最小的正整数k,k,使得当自变量使得当自变量x x在任意两个整数间在任意两个整数间( (包括整数本身包括整数本身) )变化时变化时, , 函数函数f(x)f(x)至少有一个值是至少
3、有一个值是M M与一个值是与一个值是m.m.七、七、CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高,已知ACD、CBD、ABC的面积成等比 数列,求B(用反三角函数表示).第 3 页 共 9 页九、抛物线的方程是九、抛物线的方程是y y2 2=2x,=2x,有一个半径为有一个半径为1 1的圆的圆, ,圆心在圆心在x x轴上运动轴上运动. .问这个圆运动到问这个圆运动到 什么位置时什么位置时, ,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直圆与抛物线在交点处的切线互相垂直. .附加题附加题问a、b应满足什么条件,使得对于任意m值来说,直线(L)与椭圆(E)总有公共点.第 4 页 共 9 页19801980 年普通高
4、等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (全国卷全国卷) )数学（理工农医类）参考答案数学（理工农医类）参考答案二、证明二、证明: :设O1、O2、O3的半径分别为1、2、3. 因这三个圆两两外切,故有 O1O2=1+2=3, O2O3=2+3=5, O1O3=1+3=4,根据勾股弦定理的逆定理,或余弦定理,O1O2O3为直角三角形.三、证明:取ABC最长的一边BC所在的直线为x轴,经过A的高线为y轴,设A、B、C的 坐标分别为A(0,a)、B(b,0)、C(c,0), 根据所选坐标系,如图,有a0,b0.解(1)、(2),得:(b-c)x=0. b-c0,x=0. 这就是说,
5、高线CE、BD的交点的横坐标为0,即交点在高线AO上. 因此,三条高线交于一点.第 5 页 共 9 页四、证法一:令logbN=x,根据对数定义, bx=N. 两端取以a为底的对数, logabx=logaN, xlogab=logaN. b1,logab0,证法二证法二: :令logbN=x,根据对数定义, N=bx =(alogab)x=axlogab, xlogab=logaN. b1,logab0,五、证明五、证明: :用反证法.假如平面N与平面M平行,则PA也垂直于N,因此PA与PB重合,B点 与A点重合,但这与题设矛盾,所以平面N与平面M相交. 设平面N与平面M的交线为l. PA平
6、面M,PAl. 又PB平面N,PBl. l平面PAB,lAB.六、解六、解: :(1)M=1,m=-1,(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m. 而任意两个整数间的距离都1.因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是 M与一个值是m,必须且只须使f(x)的周期1.第 6 页 共 9 页可见,k=32就是这样的最小正整数. 七、解法一七、解法一: :设CD=h,AB=c,BD=x, 则 AD=c-x.即x2=c(c-x), 即x2+cx-c2=0,取负号不合题意,又依直角三角形的性质,有 AC2=ADAB=c(c-x). 但x2=c(c-x),AC2=x2,解法二解
7、法二: :由题设有(CDBD)2=(CDAD)(CDAB), BD2=ADAB. 但 AC2=ADAB, BD=AC.第 7 页 共 9 页两端乘以正数sin ,问题化为证明 2sin sin2 1+cos . 而2sin sin2 =4sin2cos =4(1-cos2)cos =4(1-cos )(1+cos )cos . 所以问题又化为证明不等式 (1+cos )4(1-cos )cos -10.8t2(1-t2)(1+t2)2, 即 -9t4+6t2-10, -(3t2-1)20. 不等式成立.第 8 页 共 9 页九、解九、解: :设圆的方程为 (x-k)2+y2=1. 再设圆与抛物
8、线的一个交点为P(x0y0).在P点抛物线的切线与圆的切线垂直,必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切.由(1)、(2)式消去y0,得x0=-k, 将(2)代入(3),得(x0-k)2+2x0-1=0, 将x0=-k代入,得4k2-2k-1=0,由于对称性,圆与抛物线的另一交点 (x0,-y0)处的切线也互相垂直.附加题附加题 解法一解法一: :消去参数,得第 9 页 共 9 页消去y,整理得 (1+a2m2)x2+2(a2mb-1)x+a2b2-a2+1=0.(a2mb-1)2-(1+a2m2)(a2b2-a2+1)0. 化简并约去a2得 (a2-1)m2-2bm+(1-b2)0. 对任何m的值,要使这个式子永远成立,条件是即为所求的条件. 解法二解法二: :直线(L)即y=mx+b;它通过P(0,b)点,斜率为m. 如果P(0,b)落在(E)内或(E)上,如P1,则过P1点作任意直线(L)显然与椭圆(E)总有公 共点. 如果P(0,b)落在(E)外,如P2,那么由P2向椭圆作两切线,则(E)上所有的点都在两切线 的一个夹角内,所以可以选择斜率m的值,使直线(L)落在这个夹角的补角内,(L)与(E)就 没有公共点了. 因此,(L)与(E)总有公共点的充要条件是p(0,b)点落在(E)内或(E)上. 要使(E)与y轴有公共点,其充要条件是a1;这时,(E)与y轴的
