2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)《理科数学》试卷

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1、第 1 页共 17 页2012010 0 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学（全国（全国卷）卷）注意事项：注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3第 I 卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：参考公式：如果事件A、B互斥，那么球

2、的表面积公式()( )( )P ABP AP B24SR如果事件A、B相互独立，那么其中 R 表示球的半径()( )( )P A BP A P B球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p，那么33 4VRn次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中 R 表示球的半径( )(1)(0,1,2,)kkn k nnP kC ppkn第第 I I 卷卷一、一、选择题选择题: :本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)(1)复数复数32 23i i()(A)i(B)i(C)12-13i(D) 12+13i(2)(2)记记

3、cos( 80 )k ,那么那么tan100 ()A.21k kB. -21k kC. 21kkD. - 21kk第 2 页共 17 页(3)(3)若变量若变量, x y满足约束条件满足约束条件1,0,20,yxyxy 则则2zxy的最大值的最大值为为()(A)4(B)3(C)2(D)1（ 4 4 ）已知各项均为正数的等比数列）已知各项均为正数的等比数列 na ，123a a a=5=5 ，789a a a=10=10 ，则，则456a a a= =()(A)5 2(B) 7(C) 6(D)4 2(5)(5)353(12) (1)xx的

4、展开式中的展开式中 x x 的系数是的系数是()(A) -4(B) -2(C) 2(D) 4(6)(6)某校开设某校开设 A A 类选修课类选修课 3 3 门门，B B 类选择课类选择课 4 4 门门，一位同学从中共选一位同学从中共选 3 3 门门，若要求两类若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有课程中各至少选一门，则不同的选法共有()(A) 30 种(B)35 种(C)42 种(D)48 种(7)(7)正方体正方体 ABCD-ABCD-1111ABC D中，中，B B1B与平面与平面 ACAC1D所成角的余弦值为所成角的余弦值为()A2 3B3 3C2 3D6 3（8）设）设 a=3

5、log2,b=In2,c=1 25,则则()A af(1)=1+2 1=3,即 a+2b 的取值范围是(3,+).（11）.D 解：如图所示：设 PA=PB=x (0)x ,APO=,则PABO第 9 页共 17 页1 2x y=1xyaO1 2x 41 4ay2yxxaAPB=2，PO=21x， 21sin 1x ，| |cos2PA PBPAPB =22(1 2sin)x=222(1) 1xx x =4221xx x ，令PA PBy ，则4221xxyx，即42(1)0xy xy，由2x是实数，所以2 (1)4 1 ()0yy ，2610yy ，解得32 2y 或32 2y .故min

6、()32 2PA PB .此时21x .（12）.B 解：过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为h,则有ABCD11222323Vhh 四面体,当直径通过 AB与 CD 的中点时,22 max2 212 3h,故max4 3 3V.二填空题：(13).0,2 解析:原不等式等价于2221(1) ,10xxx 解得 0x2.(14)1 7解：因为为第三象限的角,所以2(2(21) ,2(21) )()kkkZ ，又3cos25 0, 所以2(2(21) ,2(21) )()2kkkZ ,于是有4sin25,sin24tan2cos23 ,所

8、，或2 3e .三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分 10 分)(注意：在试题卷上作答无效)(18)(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效)解：解：()记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；xOyBF1DD第 11 页共 17 页C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用.则D=A+BC,( )0.5 0.50.25, ( )2 0.5 0.50.5, ( )0.3,P AP BP C()()P DP AB C=( )()P AP B C=

9、( )( ) ( )P AP B P C=0.25+0.50.3=0.40.()(4,0.4)XB，其分布列为：4(0)(1 0.4)0.1296,P X 13 4(1)0.4 (1 0.4)0.3456,P XC222 4(2)0.4(1 0.4)0.3456,P XC33 4(3)0.4(1 0.4)0.1536,P XC4(4)0.40.0256.P X 期望4 0.41.6EX .（19）（本小题满分 12 分）（注意：（注意：在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效）解：解法一：解法一：()连接 BD,取 DC 的中点 G，连接 BG,由此知1,DGGCBG即ABC为直角三角形，故B

10、CBD.又ABCD,BCSDSD 平面故,所以，BC 平面BDS,BCDE.作BK EC,EDCSBCK为垂足，因平面平面，第 12 页共 17 页() 由225,1,2,SASDADABSEEB ABSA知22121,AD=133AESAAB又.故ADE为等腰三角形.取ED中点 F,连接AF,则226,3AFDE AFADDF.连接FG，则/ /,FGEC FGDE.所以，AFG是二面角ADEC的平面角.连接 AG,AG=2,226 3FGDGDF,2221cos22AFFGAGAFGAF FG ,所以，二面角ADEC的大小为 120.解法二：解法二：以以 D 为坐标原点，射线为坐标原点，

11、射线DA为为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系Dxyz，第 13 页共 17 页由,mDE mDC,得0mDE，0mDC故20,20111xyzy .令2x ，则(2,0,)m.第 14 页共 17 页(20)(本小题满分 12 分)（注意：（注意：在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效）解：解：（）11( )ln1lnxfxxxx ，( )ln1xfxxx,题设2( )1xfxxax等价于ln xxa.令( )lng xxx，则1( )1g xx当01x ，( )0g x ；当1x时，( )0g x ，1x 是( )g x的最大值点，( )(1)1g

12、 xg 综上，a的取值范围是1, .()有（）知，( )(1)1g xg 即ln1 0xx .当01x 时，( )(1)ln1ln(ln1)0f xxxxxxxx ；当1x时，( )ln( ln1)f xxxxx1ln(ln1)xxxx11ln(ln1)xxxx0所以(1) ( )0xf x（21）(本小题满分 12 分)（注意：（注意：在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效）解：解：设11( ,)A x y，22(,)B xy，11( ,)D xy，l的方程为1(0)xmym.第 15 页共 17 页（）由知，2 1212(1)(1)42xxmymym1212(1)(1)1.x xmymy因

13、为11(1,),FAxyuur22(1,)FBxyuur ，2 12121212(1)(1)() 1484FA FBxxy yx xxxm uur uur故28849m，解得4 3m 所以l的方程为3430,3430xyxy又由知2 214(4 )4 473yym 故直线 BD 的斜率2143 7yy ，因而直线 BD 的方程为3730,3730.xyxy因为 KF 为BKD的平分线，故可设圆心( ,0)( 11)M tt ，( ,0)M t到l及 BD 的距离分别为31 31,54tt.第 16 页共 17 页由313154tt得1 9t ，或9t （舍去），故圆 M 的半径31253tr.所以圆 M 的方程为2214()99xy.（22）(本小题满分 12 分)（注意：（注意：在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效）（）12211,1,2.aacaac由得用数学归纳法证明：当2c 时1nnaa.（）当1n 时，21 11acaa，命题成立；第 17 页共 17 页

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