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1、【教学过程教学过程】 一、一、引入引入 前面我们学习了如何用向量来判定空间当中直线与平面的位置关系，这节课我们主要 是运用这种判断法则来考虑直线与平面的夹角问题。 二、二、概念分析概念分析 直线与平面的夹角，从几何意义上来看，可以转化为直线方向向量与平面法向量的夹 角，两向量的夹角经由数量积的定义式可以确定。直线的方向向量比较好确定，但平面的 法向量如何确定呢，由于法向量垂直与平面内的任意一个向量，可以首先寻找平面内的两 向量，运用垂直概念求算出法向量。 三、三、例题讲解例题讲解例例 1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F分别为BC、A1D1的中点，求棱AD与平面B1EDF的夹角
2、余弦解 设正方体棱长为a，如图 1533 建立空间直角坐标系，则各点的坐标分别为A(a, 0, a), B(a, a, a), C(0, a, a), D(0, 0, a), A1(a, 0, 0), D1(0, 0, 0)据中点坐标公式，可求得E(, a, a), F(,0, 0)2a 2a=(, 0, -a),=(, a, 0),=(-a, 0, 0)DFuuu r 2a DEuuu r 2aADuuu r设平面B1EDF的法向量n n=(x, y, z)，则必有n n, DFuuu rn n，即立DEuuu rn n=x- az=0，n n=x+ ay=0DFuuu r 2a DEuuu
3、 r2a令z=1，得x=2，y=-1，即n n=(2,-1,1)设AD与平面B1EDF的夹角为 ，则 cos =sin(n n)ADuuu rcos(n n)=-，ADuuu r2 41 1aa 6 3sin(n n)= =，ADuuu r261(-)33 3所以棱AD与平面B1EDF的夹角余弦为3 3例例 2 尖顶房屋的屋顶呈正四棱锥形状，底面是一个边长为 8 米的正方形为了使顶面(棱锥侧面)之间交成 120角，屋顶应多高？解 如图 15-34，以底面正方形ABCD的中心为原点，z轴垂直向上，建立空间坐标系，则得坐标A(4, -4, 0), B(4, 4, 0), C(-4, 4, 0),
4、D(-4, -4, 0)图 15-33ABCDA1B1C1D1yzxFEOn n设屋顶尖为V(0, 0, z)，则=(-4, 4, z), =(-4, -4, z), =(4, -4, z)AVuuu r BVuuu r CVuuu r设VAB所在平面的法向量为n n1 1=(x1, y1, 1)，则n n1=-4x1+4y1+z=0, n n1=-4x1-4y1+z=0，AVuuu r BVuuu r解得x1=, y1=0，所以n n1=(, 0, 1)4z 4z设VBC所在平面的法向量为n n2=(x2, y2, 1)，则n n2=-4x2-4y2+z=0, n n2=4x2-4y2+z=
5、0，BVuuu r CVuuu r解得x2=0, y2=，所以n n2=(0, , 1)4z 4z二面角VAB-VB-VBC的平面角为 120角，则平面VAB与平面VBC只所成的角为 60 ，所以 cos(n n1n n2)=，2116111611611222 zzz解得z=4；舍去负值，得z=4因此，为了使顶面之间交成 60角，屋顶应高 4 米课堂练习课堂练习1 如图 1535，已知E 为正方体ABCD-A1B1C1D1中棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成二面角的平面角的余弦值。【小结小结】 课堂小结：课堂小结：本节课我们一起探讨了直线与平面的位置关系以及两者夹角的求算，多次 借助于向量的数量积来解决问题，这主要是因为空间当中位置关系的判断都和方向有关， 而数量积定义式可以很好地表示出向量的夹角，也就是向量具体的方向。因此，本节课的 重点在于如何运用向量来表示空间当中的直线与平面。图 15-34ABCDn n2 n n1yzxVO8图 1535ABCDA1B1C1D1yzxE
