分数比较大小之万能法

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1、分数专题 第 1 页 共 17 页 分数比较大小之万能法 课堂上给孩子讲分数比较大小中的“作差法”。师：5/8 与 8/11 哪个大？生：8/11 大。师：为什么？生：1-5/8=3/8，1-8/11=3/11。3/83/11，所以 5/88/11师：很好，那为什么大于号要变成小于号呢？生：被减数相同，差越大，减数越小。师：分数比较大小中，什么时候用“作差法”呢？生：当两个分数分子和分母的差相等的时候，用“作差法”。师：（想：全让你说了，我讲什么？哼！）谁能快速的比较出下面分数的大小？（板书：18/19 和 118/119，2005/2008 和 1998/2001）生：（很快解决）师：有什么

2、规律，或方法吗？生：分子和分母的差相等的时候，分母大的分数就大！师：大家同意吗？生：同意师：这个结论永远对吗？生：思考中 ing.师：比较 8/5 和 10/7 的大小生：（开始跳跃了，我的学生都爱犯这个毛病！不回答当前的问题，总想解决过去没有解决的问题！）真分数时。分 母大的分数就大！假分数时，分母大的分数就小！师：终于别你发现了，这次这个结论就完整了！但是前提一定是在分子和分母的差相等的时候。大家记下来吧！多好 的一个方法啊！生：恩。师：（想：全是学生发现的，没有成就感。切！再提出一个课题，让他们自己研究去，难难他们！）同学们，在分子和分母的差相等的时候，我们可以用上面的方法比较分数的大小

3、，但如果分子和分母的差不相等的时 候，我也想用这个方法，怎么办？（注：备课中没备到，我发散了，你们也发散去吧！）分数专题 第 2 页 共 17 页 生：思考状师：比如比较 9/25 和 5/13 的大小师：差不相等，但是差好象有点关系生：2 倍关系师：对啊，能把差变成相等吗？生：5/13=10/26，10/269/25，所以 5/139/25师：厉害啊！继续发散，差是整数倍完全可以把差变相等，如果两个差不是整数倍呢？师：随便出两个分数生：2/5生：7/17师：谁能解决？生：2/5 分子分母的差是 3，7/17 分母的差是 10，2/5=20/50，7/17=21/51，7/172/5师：太好了

4、！当分子分母的差相等的时候我们能比较大小，当分子分母的差不相等的时候，我们能把它们变成相等后 比较大小，那么这不就是分数比较大小的万能法吗？生：万能法，万能法，呵呵！我很开心，学生更开心！尽管这个方法有时候对一些特殊的问题运用起来显的很笨拙，但是我的目的不是让孩子记住 这个方法，实际在现实中他们会选择他们自己认为的好方法，而是让他们享受解决问题的过程。第 1 讲 比较分数的大小 同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不 那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况

5、，其中前两种情况判别大小的方 法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况， 再比较大小。由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。1.“通分子”。分数专题 第 3 页 共 17 页当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再 比较大小，这种方法比通分的方法简便。如果我

6、们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。2.化为小数。这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。3.先约分，后比较。有时已知分数不是最简分数，可以先约分。4.根据倒数比较大小。5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则 分母（子）小的分数较大。也就是说，分数专题 第 4 页 共 17 页6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况：（1）对于分数 m 和 n，若 mk，kn，则 mn。（2）对于分数 m 和 n，若 m-kn-k，则 mn。前一个差比较小，所以 mn。

7、（3）对于分数 m 和 n，若 k-mk-n，则 mn。注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数 k 小于原来的两个分数 m 和 n；（3）中借助的数 k 大于原来 的两个分数 m 和 n。（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中 一个分数大，比另一个分数小。利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个 新分数。比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论哪种方法，均来源于：“分母相同， 分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。 练习练习

8、 1 1分数专题 第 5 页 共 17 页1.比较下列各组分数的大小：第 2 讲 巧求分数 我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数， 或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。这类题目变化很多，因此解 法也不尽相同。 数。分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减 1 就变成分子加、减 1，这样就可以用 例 1 求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。个分数。分数专题 第 6 页 共 17 页分析与解：分析与解：因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法

9、求解。，这个分数是多少？分析与解：分析与解：如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：这个分数是多少？于是与例 3 类似，可以求出在例 1例 4 中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化，那么会怎样呢？数 a。分析与解：分析与解：分子减去 a，分母加上 a，（约分前）分子与分母之和不变，等于 29+43=72。约分后的分子与 分母之和变为 3+5=8，所以分子、分母约掉45-43=2。分数专题 第 7 页 共 17 页求这个自然数。同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是 45，新分数约分后变例 7 一个分数的分子与分母之和是 23，分母增加 19 后得到一个新

10、分数，分子与分母的和是 1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除以 426=7 得到分析与解：分析与解：分子加 10，等于分子增加了 105=2（倍），为保持分数的大小不变，分母也应增加相同的 倍数，所以分母应加82=16。在例 8 中，分母应加的数是分数专题 第 8 页 共 17 页在例 9 中，分子应加的数是由此，我们得到解答例 8、例 9 这类分数问题的公式：分子应加（减）的数=分母所加（减）的数原分数；分母应加（减）的数=分子所加（减）的数原分数。分析与解：分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类题中最难的，我们用设未知数列方 程的方法解答。（2x+2）3=（x+5

11、）4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。练习练习 2 2分数专题 第 9 页 共 17 页是多少？ 第 3 讲 分数运算的技巧对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速 度，解答较难的问题。1.1.凑整法凑整法与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、 分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数从而使运算得到简化。分数专题 第 10 页 共 17 页2.2.约分法约分法3.3.裂项法裂项法若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算。分数专题 第

12、 11 页 共 17 页例例 7 7 在自然数 1100 中找出 10 个不同的数，使这 10 个数的倒数的和等于 1。分析与解：分析与解：这道题看上去比较复杂，要求 10 个分子为 1，而分母不同的就非常简单了。括号。此题要求的是 10 个数的倒数和为 1，于是做成： 所求的 10 个数是 2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。的 10 和 30，仍是符合题意的解。分数专题 第 12 页 共 17 页4.4.代数法代数法5.5.分组法分组法分析与解：分析与解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母为 n 的分数之和为原式中分母为 220 的分数之和依次为练习练习

13、 3 3分数专题 第 13 页 共 17 页8.在自然数 160 中找出 8 个不同的数，使这 8 个数的倒数之和等于 1。第 4 讲 循环小数与分数任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循 环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们 先看下面的分数。（1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数 2 和 5，化因为 40=235，含有 3 个 2，1 个 5，所以化成的小数有三位。分数专题 第 14 页 共 17 页（2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数 2 和

14、 5。（3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数 2 或 5，又含有 2 和 5 以外的质因数， 化成的混循环小数中的不循环部分的位数与5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。于是我们得到结论：一个最简分数化为小数有三种情况：一个最简分数化为小数有三种情况：（1 1）如果分母只含有质因数）如果分母只含有质因数 2 2 和和 5 5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母 中质因数中质因数 2 2 与与 5 5 中个数较多的那个数的个数；中个数较多的那个数的个数；（2 2）如果分母中只含有）如果

15、分母中只含有 2 2 与与 5 5 以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；（3 3）如果分母中既含有质因数）如果分母中既含有质因数 2 2 或或 5 5，又含有，又含有 2 2 与与 5 5 以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小 数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数 2 2 与与 5 5 中个数较多的那个数的个数。中个数较多的那个数的个数。例例 1 1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分 有

16、几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？分析与解：分析与解：上述分数都是最简分数，并且32=25，21=37，250=253，78=2313，117=3313，850=25217，根据上面的结论，得到：不循环部分有两位。分数专题 第 15 页 共 17 页将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的 方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将 循环小数化成分数的方法。1.将纯循环小数化成分数。将上两式相减，得将上两式相减，得从例 2、例 3 可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。纯循环小数化成分数的方法：纯循环小数化成分数的方法：分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是 9 9，9 9 的个数与循环节的位数相同。的个数与循环节的位数相同。2.将混循环小数化成分数。将上两式相减，得分数专题 第 16 页 共 17 页将上两式