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1、1一、填空题 1、平面点集的内部为 ,边界为 .22( , )|01Ex yxy解 222222int( , )|01 ,( , )|01Ex yxyEx yxyxy或2、平面点集的聚点集为 .1 1,En mn m为整数解 11,00,(0,0)nmnmUU为整数为整数3、设,则函数的定义域为 .2224( , )ln 1xyf x yxy( , )f x y解 222,014x yxyyx且4、设则 ,= .2222 ),(yxyxyxf 00limlim( , ) xyf x y ),(limlim 00yxf xy解 222200000limlim( , )limlimlim11 xy
2、xyxxyf x yxy 222200000limlim( , )limlimlim11 yxyxxxyf x yxy 5、函数的间断点集为 .1( , )sin sinf x yxy解 , ,x y xkylk lZ或二、选择题1、函数( D )f x yxy( , ) 1122的定义域是A、闭区域 B、开区域 C、开集 D、闭集解 f x yxy( , ) 1122的定义域是 ,1,1Ex yxy是闭集但不具有连通性,故不是闭区域.E2、函数的定义域是( C )yxzA、有界开集 B、有界闭集 C、无界闭集 D、无界开集解 的定义域是yxz 2,0Ex yyx是无界闭集.E 3、以下说法中
3、正确的是( A ) A、开区域必为开集B、闭区域必为有界闭集 C、开集必为开区域D、闭集必为闭区域 4、下列命题中正确的是( A ) A、如果二重极限,累次极限均存在,则它们相等; B、如果累次极限存在,则二重极限必存在; C、如果二重极限不存在,则累次极限也不存在; D、如果二重极限存在,则累次极限一定存在.25、下列说法正确的是( A ) A、有界点列必存在收敛的子列;2RPnB、二元函数在 D 上关于,均连续,则在 D 上连续;),(yxfxy),(yxfC、函数在有界区域 D 上连续,则在 D 上有界;),(yxf),(yxfD、函数定义在点集上,且是 D 的孤立点,则在处连续.),(
4、yxf2RD DP 00Pf0P三、用定义证明 -2220 0lim0. x yx y xy 证明 由于当时( , )(0,0)x y 2222|0|22x yx yxxxyxy故有0, ( , ):0 |0|,0 |0|,x yxy 2220|x yxxy故2220 0lim0. x yx y xy 四、求下列极限1、22220 0lim x yx y xy 解 当时( , )(0,0)x y ,而222 22 22220x yyxxxyxy=+20 0lim0 x yx 所以.22220 0lim0 x yx y xy 2、22220 0lim 11x yxyxy 解 因为 ()()222
5、222 22 222211 111111xyxyxyxyxyxy+=+-+-所以.()22 222200 00limlim112 11xx yyxyxy xy +=+= +-数学分析数学分析 练习题练习题( (二二) ) 班级班级: : 学号学号: : 姓名姓名: : 3一、填空题1、设,则 , .xyez z xz y解 ,xyxyzzyexexy2、设,则000000(,)0,(,)4,(,)5xyf xyfxyfxy, .000(,)lim xf xx y x 000(,)lim yf xyy y 解 000000 0000(,)(,)(,)limlim(,)4xxxf xx yf xx
6、 yf xyfxyxx 000000 0000(,)(,)(,)limlim(,)5yyyf xyyf xyyf xyfxyyy 3、设,则 .ln 1xzy(1,1)dz解 21111,()11zzxx xxxyxyyyy xy yy Q(1,1)(1,1)11,22zz xy (1,1)111()222dzdxdydxdy4、设,则= .2sin()zx ydz解 2222cos(),cos()zzxyx yxx yxyQ22222cos()cos()cos() 2dzxyx y dxxx y dyxx yydxxdy5、求曲面在点处的切平面方程为 ,法arctanyzx= 4, 1 ,
7、1线方程 .解 2222,xyyxzzxyxyQ= -=+ 11(1,1),(1,1)22xyzz= -=故曲面在点处的切平面方程为arctanyzx= 4, 1 , 1,即11(1)(1)422zxy 202xyz法线方程为,即114 111 22zxy202204xyxz数学分析数学分析 练习题练习题( (二二) ) 班级班级: : 学号学号: : 姓名姓名: : 4二、选择题1、设在点处偏导数存在,则=( C ),(yxf( , )a blim(, )(, )xf ax bf ax b x0A、 B、 C、 D、( , )xfa b(2 , )xfa b2( , )xfa b1( , )
8、2xfa b解 xbafbxafbafbxaf xbxafbxafxx),(),(),(),(lim),(),(lim 00 000(, )( , )(, )( , )lim(, )( , )(, )( , )limlim( , )( , )2( , )xxxxxxf ax bf a bf ax bf a bx f ax bf a bf ax bf a b xx fa bfa bfa b 2、设在点处存在关于的偏导数,则( A ),(yxf00(,)xyx00(,)( , )xyf x y xA、B、xyxfyxxfx),(),(lim00000xyxfyyxxfx),(),(lim00000
9、C、D、xyxxfx),(lim000xyxxfyyxxfx),(),(lim00000解 0000000(,)(,)(,)( , )lim xxyf xx yf xyf x y xx 3、函数在点(0,0)处有( D )f x yxy xyxyxy( , ) 222222000A、连续且偏导数存在B、连续但偏导数不存在 C、不连续且偏导数不存在D、不连续但偏导数存在 解 当沿趋于时( , )x yyx(0,0)222000 01lim( , )lim( , )lim2xxx yxf x yf x xxx 当沿趋于时( , )x y0y (0,0)000 0lim( , )lim( ,0)li
10、m00 xxx yf x yf x 故不存在,于是函数在点(0,0)处不连续. 0 0lim( , ) x yf x y ),(yxf0000(,0)(0,0)00(0,)(0,0)00limlim0, limlim0 xxyxfxffyf xxyy Q在原点存在偏导数且( , )f x y(0,0)0,(0,0)0xyff4、在点处的某邻域内偏导数存在且连续是在该点可微的( B )00(,)xy),(yxfA、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件 解 P175 定理 2 5、下面命题正确的是( C ) A、若在连续,则在的两个偏导数存在;),(yxf00(,)xy),(yxf0
11、0(,)xy数学分析数学分析 练习题练习题( (二二) ) 班级班级: : 学号学号: : 姓名姓名: : 5B、若在的两个偏导数存在,则在处连续;),(yxf00(,)xy),(yxf00(,)xyC、若在可微,则在的两个偏导数存在;),(yxf00(,)xy),(yxf00(,)xyD、若在处的两个偏导数存在,则在处可微.),(yxf00(,)xy),(yxf00(,)xy解 P172 定理 1 三、求解下列各题 1、求曲面上一点,使得曲面在该点的切平面平行于平面,并写出这切xyz 093zyx 平面方程和法线方程. 解 设所求的点为.由于000(,)xyz,xyzy zx故000000(
12、,),(,)xyzxyyzxyx于是曲面在点的切平面方程为xyz 000(,)xyz00000()()()0yxxxyyzz由已知切平面与平面平行,故093zyx001 131yx于是,故所求的点为.000003,1,3xyzx y ( 3, 1,3)曲面在点的切平面方程为( 3, 1,3) ,即(3)3(1)(3)0xyz330xyz 法线方程为,即313 131xyz1333yxz2、讨论函数在附近的连续性、偏导数的存在性及可微性.2 22 2222,0( , )0,0x yxyf x yxyxy 解 且.2221( , )(0,0)02x yx yxxyQ当时， 0 01lim02x yx 22200 00lim( , )lim0(0,0) xx yyx yf x yfxy 在点的连续.( , )f x y(0,0)0000(,0)(0,0)00(0,)(0,0)00limlim0, limlim0 xxyyfxffyf xxyy Q在点存在偏导数且.( , )f x y(0,0)(0,0)(0,0)0xyff222232222222(,)(0,0)(0,0)(0,0)xyxy fxyffxfyzdzxyxyxyxyxy
