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1、6 6 事件的独立性事件的独立性1由上节例子可见, 一般情况下, P(B)P(B|A); 亦即事件A,B中某个事件发 生对另一个事件发生的概率是有影响的. 但在许多实际问题中, 常会遇到两个事件 中任何一个事件发生都不会对另一个事 件发生的概率产生影响. 此时, P(B)=P(B|A), 由乘法公式可写成 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B). 由此导出了事件间的相互独立.2一一, 两个事件的独立性两个事件的独立性 定义定义1 若两事件A,B满足 P(AB)=P(A)P(B) 则称A,B独立独立, 或称A,B相互独立相互独立. 注注: 两事件互不相容与相互独立是完全 不同的两个概
2、念, 它们分别从两个不同的 角度表达了两事件音的某种联系. 互不相 容是表述在一次随机试验中两事件不能 同时发生, 而相互独立是表述在一次随机 试验中一事件是否发生与另一事件是否 发生有无影响. 3事实上, 我们可以证明:结论结论: 设A,B为两个随机事件, 且P(A)0, P(B)0, 则有(1) 当A与B相互独立时, 则A与B相容.(2) 当A与B互不相容时, 则A与B不独立.4定理定理1 设A,B是两事件, 若A,B相互独立, 且P(B)0, 则P(A|B)=P(A). 反之亦然.证明证明 由条件概率和独立性的定义.5定理定理 2 设事件 A,B 相互独立, 则事件 A 与 B,A与 B
3、, A与B也相互独立. 证明证明 由()AA BBABAB=, 得 ( )()()()( ) ( )()()( )1( )( ) ( ).P AP ABABP ABP ABP A P BP ABP ABP AP BP A P B=+=+=故 A 与B相互独立. 由此易推得A与 B, A 与B相互独立. 6例例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取 一张, 记A=抽到K, B=抽到的牌是黑色 的, 问事件A,B是否独立? 解一解一 利用定义判断. 由 41261( ),( ),5213522 21()5226P AP BP AB=得到P(AB)=P(A)P(B), 故事件A,B独立.7解二解二 利用
4、条件概率来判断. 由 121( ),(|),132613P AP A B=得到P(A)=P(A|B), 故事件A,B独立.注注: 从例1可见, 判断事件的独立性, 可 利用定义或通过计算条件概率来判断, 但在实际应用中, 常根据问题的实际意 义去判断两事件是否独立.8例如例如, 甲,乙两人向同一目标射击, 记事件 A=甲命中, B=乙命中, 因“甲命中“并 不影响“乙命中“的概率, 故A,B独立. 又如又如, 一批产品共n件, 从中抽取2件, 设事 件Ai=第i件是合格品,(i=1,2). 若取是有 放回的, 则A1与A2独立. 因第二次抽取的 结果不受第一次抽取的影响. 若抽取是无 放回的,
5、 则A1与A2不独立.9二二, 有限个事件的独立性有限个事件的独立性 定义定义2 设A,B,C为三个事件, 若满足等式 ()( ) ( ), ()( ) ( ),(5.2)( ()( ) ( ( ) ( ) ( ), ,P ABP A P B P ACP A P C P BCP B P ABCP A P B P CP C= = =则称事件A,B,C相互独立相互独立.10对 n 个事件的独立性, 可类似地定义: 设 A1,A2,An是 n(n1)个事件, 若对任意k(1时 p2p1; 当1 2p =时211 2pp=. 故当1 2p 时, 对甲来说采用五局三胜制为有利. 当1 2p =时两种赛制
6、甲,乙最终获胜的概率是相同的, 都是 50%. 28四四, 伯努利概型伯努利概型 设随机试验只有两种可能的结果: 事件A 发生或者事件A不发生, 则称这样的试验 为伯努利(Bernoulli)试验. 记( ), ( )1,(01,1),P Ap P Apqppq= =+=将伯努利试验在相同条件下独立地重 复进行n次, 称这一串重复的独立试验 为n重伯努利试验重伯努利试验, 或简称为伯努利概伯努利概 型型.29定理定理3(伯努利定理伯努利定理) 设在一次试验中, 事 件A发生的概率为p(0p1), 则在n重伯努 利试验中, 事件A恰好发生k次的概率为 ( ; , )(1),(0,1, ).kkn
7、 k nb k n pC ppkn=证明证明 记“第 i 次试验中事件 A 发生”这 一事件为 Ai, i=1,2,n, 则“事件 A 恰好发生 k 次”(记作 Bk)是下列k nC个两两不相容事件的并： 1212kn kiiijjjA AA A AA 30证证明明 记“第 i 次试验中事件 A 发生”这 一事件为 Ai, i=1,2,n, 则“事件 A 恰好发生 k 次”(记作 Bk)是下列k nC个两两不相容事件的并： 1212kn kiiijjjA AA A AA 其中 i1,i2,ik是取遍 1,2,n 中的任意k 个数(共有k nC种取法), j1,j2,jnk是取走 i1,i2,i
8、k后剩下的 n=k 个数. 311212kn kiiijjjA AA A AA (共有k nC种取法),根据独立性及P(Ai)=p, 有 12121212()() ()() () ()()kn kkn kiiijjjiiijjjkn kP A AA A AAP A P AP AP AP AP Ap q=故有( ; , )().kkn k knb k n pP BC p q=32推论推论1 设在一次试验中, 事件A发生的概率为p(0p1), 则在伯努利试验序列中, 事件A在第k次试验中才首次发生的概率为p(1p)k1, (k=1,2,).注意到“事件A第k次试验才首次发生“等价于在前k1次试验组
9、成的k1重伯努利试验中事件A均不发生, 而在第k次试验中事件A发生“, 再由伯努利定理即推得.33例例6* 一条自动生产线上的产品, 次品率 为4%, 求解下列问题: (1) 从中任取10件, 求至少有两件次品的 概率; (2) 一次取1件, 无放回地抽取, 求当取到 第二件次品时, 之前已取到8件正品的概 率.34解解 (1) 若是有放回抽取, 每抽1件产品看成是一次试验, 抽10件产品相当于做10次重复独立试验. 但实际中往往采用无放回抽取. 由于一条自动生产线上的产品很多, 当抽取的件数相对较少时, 即使无放回抽取也可以看成是独立试验, 而且每次试验只有“次品“或“正品“两种可能结果,
10、所以可以看成10重伯努利试验.35设A表示“任取1件是次品“, 则 ( )0.04,( )0.96.pP AqP A=又设B表示“10件中至少有两件次品“, 则 由伯努利定理10101010 21019 10( )( )1(0)(1)10.960.04 0.960.0582.kP BPkPPC= = =36(2) 由题意, 至第二次抽到次品时, 共抽取了10次, 前9次中抽得8件正品1件次品. 设C表示“前9次中抽到8件正品1件次品“, D表示“第十次抽到次品“, 则由独立性和伯努利公式, 所求的概率为18 9()( ) ()0.04 0.960.040.0104.P CDP C P DC=3
11、7例例7 一个医生知道某种疾病患者自然痊 愈率为0.25, 为试验一种新药是否有效, 把它给10个病人服用, 且规定若10个病人 中至少有四个治好则认为这种药有效, 反 之则认为无效. 求: (1) 虽然新药有效, 且把痊愈率提高到 0.35, 但通过试验却被否定的概率. (2) 新药完全无效, 但通过试验却被认为 有效的概率.38分析分析 将10个病人服此药视为10次重复试验, 在每次试验中, 只有两种可能结果: 此人痊愈或不痊愈, 而且10人的痊愈与否彼此独立(即使是传染病也是隔离治疗的). 这样, 本问题便可利用伯努利概型解决.39解解 (1) 设A=“通过试验新药被否定“, 则由 题意
12、, A发生当且仅当事件“10人至多只有 3人痊愈“发生. 注意: 依题意, 新药有效, 痊愈率为0.35, 从而3 10 10 01092837( )(0.35) (10.35)0.6510 0.35 0.6545 0.350.65120 0.350.65 0.5136.kkkkP AC=+ =40(2) 设B=“通过试验判断新药有效“, 则B发 生当且仅当事件“10个人至少有4个痊愈“ 发生. 注意, 依题意, 新药无效, 这时痊愈 率等于自然痊愈率0.25, 从而10 10 10 410310 0( )0.25 (10.25)1310.224.44kkkkkk kkP BCC= =41例例
13、8* 某型号高炮, 每门炮发射一发炮弹 击中飞机的概率为 0.6, 现若干门炮同时 各射一发, (1) 问: 欲以 99% 的把握击中一架来犯的 敌机至少需配置几门炮? (2) 现有 3 门炮, 欲以 99% 的把握击中一 架来犯的飞机, 问:每门炮的命中率应提 高多少?42解解 (1) 设需配置n门炮. 因为n门炮是各自 独立发射的, 因此该问题可以看作n重伯 努利试验. 设A表示“高炮击中飞机“, P(A)=0.6, B表 示“敌机被击落“, 问题归结为求满足下面 不等式的n1( )0.6 0.40.99n kkn k n kP BC=43由1( )0.6 0.40.99n kkn k n
14、 kP BC=( )1( )10.40.99,nP BP B= = 或 0.4n0.01,解得lg0.015.03.lg0.4n =至少应配置6门炮才能达到要求.44(2) 设命中率为p, 由3 3 3 1( )0.99kkkkP BC p q=得 1q30.99.解此不等式得q0.215, 从而得p0.785. 即每门炮的命中率至少应为0.785.45注注: 对于给定一事件的概率求某个参数的逆问题, 应先求出事件的概率(含所求参数), 从而得到所求参数满足的方程或不等式, 再解之.46二事件独立的图示 事件A:事件B:AB0.60.5AB47另一种表示办法： 事件A:事件B:A0.60.5综合：AB48三事件A，B，C相互独立的情况:(假设 它们的发生概率都是0.5)AB C事件A事件B事件C49综合起来看:ABC50两两独立却不是相互独立的情况AB事件A事件B事件CC51综合起来看,A,B,C并不相互独立:ABC52另一种两两独立却不是相互独立的情况AB事件A事件B事件CCC53综合起来看,A,B,C并不相互独立:ABCC54作业作业 P27第29, 33, 36, 39 题55
