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1、练习八班级_ 姓名_1. 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数， 以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律.解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j2，联合分布律为P X=0, Y=2 =351 4 72 22 2CCCP X=1, Y=1 =356 4 72 21 21 3CCCCP X=1, Y=2 =356 4 71 22 21 3CCCCP X=2, Y=0 =353 4 72 22 3CCCP X=2, Y=1 =3512 4 71 21 22 3CCCCP X=2, Y=2 =353 4
2、72 22 3CCCP X=3, Y=0 =352 4 71 23 3CCCP X=3, Y=1 =352 4 71 23 3CCCP X=3, Y=2 =0X Y0123000353 35210356 3512 3522351 356 35302. 设随机变量（X，Y）概率密度为 其它, 042, 20),6( ),(yxyxk yxf（1）确定常数k； （2）求P X1, Y3；（3）求P (X1.5；（4）求P (X+Y4.解：（1） 2012)6(),(1dydxyxkdydxyxf，81k（2）83)6(81)3, 1(3210dyyxdxYXP（3）3227)6(81), 5 .
3、1()5 . 1(425 . 10dyyxdxYXPXP（4）32)6(81)4(4020dyyxdxYXPx3. 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数， 以Y表示取到白球的只数，求的随机变量（X, Y ）的边缘分布律. X Y0123P(Y=j)000353 352 7110356 3512 352 35202351 356 353072P(X=i)351 3512 3518 35414. 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 其它, 01,),(22yxycxyxf（1）试确定常数c ; （2）求边缘概率密度.解: l=421 214 32),(
4、1025 210ccdyycydxcxdydxdyyxfyy 其它, 011),1 (821 421 )(42122xxxydyxxfXxX 其它01027 421 )(25 2yyydxdyfYyyYxoyy=x2Y练习九班级_ 姓名_1. 设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自 己操作的. A，B均有两个加油管. 随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为X01200.100.080.0610.040.200.1420.020.060.30(1) 求至少有一根软管在使用的概率； (2) 求在0X的条件下Y的条件分布律；
5、在1Y的条件下X的条件分布律.(3) 问随机变量X和Y是否相互独立? 解：（1）至少有一根软管在使用的概率为9 . 01 . 010, 011YXPYXP（2）根据公式00,0|XPXiYPXiYP，得到在0X的条件下Y的条件分布律为Y0120|XYP5/121/31/4类似地，在1Y的条件下X的条件分布律为 X0121|YXP4/1710/173/17（3）P（X=0，Y=0）P（X=0）P（Y=0） 所以随机变量X和Y不是相互独立. 2. 设随机变量（X，Y）在由曲线xyxy,2所围成的区域G均匀分布.(1) 问随机变量X和Y是否相互独立?(2) 求条件概率密度)|(|xyfXY.解解：（
6、1）根据题意，（X，Y）的概率密度),(yxf必定是一常数，故由),(31),(),(1210yxfdyyxfdxdxdyyxfxxG，得到 他其，0),(, 3),(Gyxyxf。他其，, 010)(33),()(22xxxdydyyxfxfxxX； 他其，他其，010)(30103),()(22yyyydxdxyxfyfyyY)()(),(yfxfyxfYX所以随机变量X和Y不是相互独立. （3）当10 x时， 其他, 0,1)(),()|(22|xyxxxxfyxfxyfXXY3. 设X与Y为独立同分布的离散型随机变量，其概率分布列为()P Xn1()( )2nP Yn，1,2,n ，求
7、XY的分布列.解 设ZXY，Z的分布为11()()() ()kiP ZkP XYkP Xi P Yki1111( ) ( )22k ik ii 1(1)( )2,3,2kkk4. 设,X Y相互独立，其概率密度分别为1,01,( )0,;Xxfx 其他,0,( )0 ,0.yYeyfyy求XY的概率密度.解: 设ZXY，由卷积分式，Z的概率密度为( )()( )ZXYfzfzy fy dy,0, 01,()( )0 ,.yXYeyzyfzyfy 其它不等式0, 01yzy确定平面域D如图.当 0z 时，( )0Zfz 10zyD当 01z时， 0( )zy Zfze dy01zyzee 当 1
8、z 时， 1( )(1),zyz Zzfze dyee综上所述0,0,( )1,01,(1),1.z Zzzfzezeez 解2 变量代换法：( )( )()ZXYfzfx fzx dx，注意到当01x时( )Xfx=1，有110( )( )()()( )u z xzZXYYYzfzfx fzx dxfzx dxfu du 令1( ),zYzfu du 0 ,0,( ),0.Yuufueu所以，当 0z 时，( )0Zfz ，当 01z时， 0( )1zuz Zfze due ，当 1z 时， 1( )(1)zuz Zzfze duee.综上所述0,0( )1,01,(1),1.z Zzzfz
9、ezeez 5. 设X和Y为两个随机变量，且 340,0,(0)(0),77P XYP XP Y求 max(, )0.PX Y 解 max(, )0(0)(0)(0)(0)PX YPXYP XP Y44350,0.7777P XY6. 假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0的指数分布. 当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T的概率分布. 解 设T的分布函数为( )TFt，第i件元件的寿命为iX，其分布函数为( )F x. 则123( )()min(,)TFtP TtPXXXt31 1( )F t 31,
10、0,0,0.tett 即 (3 )TE练习十班级_ 姓名_1. 设随机变量X的分布为X202Pk0.40.30.3求 E (X)，E (3X2+5).解：E (X)= (2)0.4+00.3+20.3=0.2E (X2)= (2)20.4+020.3+220.3=2.8E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.42. 设随机变量X的概率密度为0,00,)(xxexfx求（1）Y=2X（2）Y=e2x的数学期望。解：（1） 02)(2)(dxxedxxxfYEx2022xxexe（2） 022)()(exeedxxfeYExxx31 0313 xe3. 设二维随机
11、变量(, )X Y的概率密度为1,|,01,( , )0,.yxxf x y 其它求,(21)EXEYEXYDX .解 11200223xxEXxdy dxx dx ；100xxEYdxydy ；100xxEXYxydy dx ；1122300122xxEXxdy dxx dx ，2121( )2318DX ；42(21)4.189DXDX4. 设随机变量X1，X2的概率密度分别为 0,00,4)(000,2)(4221xxexfxxexfxx求（1）E (X1+X2)，E (2X132 2X)；（2）又设X1，X2相互独立，求E (X1X2)解：（1） 0042 212142)()()(dx
12、exdxexXEXEXXExx=43 41 21 041 0214422 xxxxexeexe（2） 0422 212 2143212)(3)(2)32(dxexXEXEXXEx=85 831081 2314442 xxxeexex（3）81 41 21)()()(2121XEXEXXE5. 设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1，标准差（均方差）为2的正态分布，而Y服从标准正态分布，试求随机变量23ZXY的概率密度.解 因为相互独立的正态分布的线性组合仍为正态分布，所以2( ,)ZN 其中(23)235EZEXYEXEY2(23)49DZDXYDXDY所以Z的概率密度为2(5) 181( )
13、,3 2zZfzez 6. 设,X Y是两个相互独立的且均服从正态分布1(0,)2N的随机变量，求|E XY与|D XY.解 : 设ZXY，则(0, 1)ZN2222 012|22zz E XYE Zz edzzedz22 022(|)z e；22|1E XYEZDZ，所以222()|(|)1D XYZ XYE XY .7. 设随机变量X和Y的联合分布为：X Y101181 81 81081081181 81 81验证：X和Y不相关，但X和Y不是相互独立的。证：P X=1 Y=1=81P X=1=83P Y=1=83P X=1 Y=1P X=1 P Y=1 X，Y不是独立的又E (X )=183+082+183=0E (Y )=183+082+183=0COV(X, Y )=EXE (X )YE (Y )= E (XY )EXEY= (1)(1) 81+(1)181+1(1)81+1181=0 X，Y是不相
