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1、 本科毕业论文（设计）(2014 届) 留数定理及其应用留数定理及其应用院院 系系 数学与统计学院数学与统计学院 专专 业业 数学与应用数学数学与应用数学 姓姓 名名 指导教师指导教师 职职 称称 学号：1007410101合肥师范学院 2014 届本科生毕业论文（设计）摘要留数定理是复积分和复级数理论相结合的重要产物之一，只有正确理解并掌握孤立奇点的概念，进一步研究孤立奇点的分类，还有函数在孤立奇点的留数概念，才能解决一些实际问题中涉及留数的应用。理解并掌握留数的计算方法，尤其是极点处留数的求解方法，以及实际求解中会应用留数求一些实积分。我们现在所学习还有研究的留数理论就是是柯西积分理论的延
2、续，泰勒级数和洛朗级数与其密切联系，是研究解析函数的重要工具。留数在复变函数论本身和实际应用中都是有其重要地位的，尤其是与计算周线积分的问题密切相关。此外，我们还可以运用留数理论已知条件去解决“大范围”的积分计算问题，也可以访问一个函数的零点分布区域问题。关键词：留数理论；留数的计算；积分；留数的应用合肥师范学院 2014 届本科生毕业论文（设计）ABSTRACTResidue theorem is the combination of the theory of integral and series, need to correct understanding of the concept
3、 and the classification of isolated singularity of isolated singularity and function in the isolated singularity residue concept. Mastering the residue method, especially in pole residue, practice with residue and some solid points. Residue is one of important concepts in the theory of complex funct
4、ion, and analytic function in the isolated singularity, cauchy composite Laurent expansion of closed circuit theorem and so on all are closely linked. Now research of residue theory is a continuation of cauchy integral theory. The insert in the middle of the Taylor series and Laurent series is a pow
5、erful tool to study analytic function. Residue in the complex variable function theory and practical application is important it and calculating contour integral (or boil down to examine cycle line integral) problems have close relationship. In addition the residue theory, we have conditions to solv
6、e the problem of “large scale“ integral calculation, can also examine zero point of function in the area of distributionKey words：Residue theory; The calculation of residue; Integral; The application of residue合肥师范学院 2014 届本科生毕业论文（设计）目录摘要 IABSTRACTII1.引言 12留数12.1 留数的定义及留数定理 12.2 留数的求法 22.3 函数在无穷远点的留
7、数 33.用留数定理计算实积分 43.1 计算型积分520(cos ,sin )Rdpqqq3.2 计算型积分 6( ) ( )P xdxQ x+-3.3 计算型积分 7( ) ( )imxP xedxQ x+-3.4 计算型积分 90( )lnR xxdx+3.5 计算积分路径上有奇点的积分 103.6.留数定理在级数求和中的应用 114.辐角原理及其应用124.1 对数留数124.2 辐角原理145.结束语15参考文献16合肥师范学院 2014 届本科生毕业论文（设计）01.引言留数理论是柯西积分理论的延续，泰勒级数和洛朗级数与其密切联系，是研究解析函数的重要工具。留数在复变函数论本身及实
8、际应用中都有其重要地位的，它和计算周线积分(或归结为考察周线积分)的问题有密切相关。此外，我们还可以应用留数理论已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，也可以访问一个函数的零点分布区域问题. 留数定理是复变函数理论中十分重要的结论，它的价值在于：实值函数理论中的一些难点问题在于其复杂的功能集成，于此可以更容易地得到解决的同时，在空气动力和流体力学中广泛出现的围线积分的计算也依赖于留数，因此，如何有效简便计算留数越来越受到相关科学工作者、学者与工程工作者的重视。2留数2.1 留数的定义及留数定理若函数在点是解析的，则周线 C 都在点的某个邻域内，且包围点,则根据柯( )f zaaa西积分定理(
9、)0cf z dz =但是,若的一个孤立奇点为点，且点的某个去心邻域包含周线 C，并包围点，则( )f zaaa积分( )cf z dz的值，一般来说，不再等于零.然后利用洛朗级数公式就很容易计算出它的结果来.定义定义 2.12.1 设函数是以有限点为孤立奇点，即在点的某个去心邻域( )f za( )f za内解析,则称积分0 |zaR11:| | trglr=G220(0 | 1)1 2 cosdIppppq q=如果用数学分析中计算反常积分的方法，计算以上几个反常积分时很麻烦的，而且没有统一的处理方法。但是根据留数定理来计算还是比较简洁的.3.2 计算型积分( ) ( )P xdxQ x+
10、-为了计算这种反常积分，首先给出一个引理及其证明.它主要是用来估计辅助曲线 上的G积分.引理引理 3.13.1 设沿圆弧上连续，且( )f z12:Re ()i RSzRqqqq=充分大R+lim( )zf zl =于上一致成立（即于中的无关）则RS12qqqq. 21R+lim( )() RSf z dziqq l =-（3.7）证证 因为 ，21() RSdz zqq ll-=于是有 21( )( )(). RRSSzf zf z dzidzzlqq l-=（3.8）对任意，由已知条件，存在，使当时，有不等式0e0( )0Re0RR.21( ),Rzf zzSelqq-=合肥师范学院 20
11、14 届本科生毕业论文（设计）7（3.9）例例 3.33.3 设，计算积分.0a 440dx xa+ +解解 方法一：因 = ，440dx xa+ +441 2dx xa+-+441( )f zza=+它一共有四个一阶级点，2 4(0,1,2,3)kikaaekpp+ =且符合定理 2.2 的条件.而334411Re( )(0,1,2,3)4444k kkkz az akkaas f zkzaaa=-=（这里用到了）.在上半平面内只有两个极点，于是440kaa+=( )f z01aa及3 44 44401()4iidxiaeaexaapp p+=-+44 31()4iiiaeaeapp p=-
12、33sin.242 2aappp=方法二：已知反常积分有2012dx xp+=+对上式经变形得4244002421111dxdx xaax aa+= +(0)a 令 则 代入上式得22xma=2adxdmm=2432002211 2(1)1dxdm aammx a+= +计算到这一步同样是被积函数原函数不易找到，所以留数定理可以完美解决，不需求出原函数便可求出积分的值。3.3 计算型积分( ) ( )imxP xedxQ x+-引理引理 3.23.2(若尔当定理) 设函数沿半圆周上连续，且( )g z:Re (0,)i RzRqqpG=充分大Rlim( )0g z +=合肥师范学院 2014
13、届本科生毕业论文（设计）8在上一致成立.则.RG Rlim( )0,(0) Rimzg z edzmG +=证证 对任意，存在，使当时，有0e0( )0Re0RR.|g(z)|则有 Ima0( )2Re( ).kkimximzz ag x edxis g z ep+-=（3.11）特别是，将（3.11）分开实虚部，就可以得到形如( )( )cossin( )( )P xP xmxdxmxdxQ xQ x+-及的积分例例 3.43.4 计算积分 .2cos 210xxdxxx+-+合肥师范学院 2014 届本科生毕业论文（设计）9解解 经验证，函数 2( )210izzef zzz=-+满足若尔当引理的条件，这里，.1m =2( )210zg zzz=-+函数有两个一阶极点 ( )f z1 31 3 .zii= +-及321 3 1 3(1 3 )Re( ).(210)6izizi zizei es f zzzi- += + = +=-+于是 32(1 3 )22106ixixei edxixxip- +-+=-+3(1 3 )(cos1sin1)3eiip-=+.33=cos1-3sin1 +i(3cos1 sin1)33eepp-+（）通过比较等式两端的实部和虚部，便可得结果如下
