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1、1第 2 章：等额年金第 2.1 节：年金的含义本节内容： 一、年金的含义（annuity） 年金是指一系列的付款（或收款） 。 年金最原始的含义是指一年付款一次，每次支付相等的金额的一系列款项。 但现在被广泛应用到其他更一般的情形，时期和金额都可以变化。 二、年金的分类 1、确定年金和风险年金。 2、定期年金和永续年金。 3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和连续年金。 4、期初付年金和期末付年金。 5、即期年金和延期年金。 6、等额年金和变额年金。 本节重点：年金的定义。 本节难点：年金的分类。第 2.2 节：年金的现值年金现值是一系列款项在期初的价值。本节内容： 2.2.1
2、期末付定期年金的现值假设年金支付期限为 n 个时期，每个时期末支付 1 元，那么这种年金就是期末付定期年金。其现值一般用符号表示。在不引起混淆的情况下，通常n ia简记为。的计算过程图（略）nana一、公式23.n nvvvva(1)1 1nnvvv vi 二、理解 1n nvia三、例题 1、现在向银行存入一笔钱，希望在以后的 5 年中每年末得到 4000 元，如 果年实际利率为 8%，现在应该存入多少钱？ 解：应用期末付年金现值公式：24000 =40003.9927=159715 8%a说明：的具体数值可以通过年金现值表查到5 8%a2、一笔年金在 20 年内每年末支付 4，另一笔年金在
3、 10 年内每年末支付 5。如果年实际利率为 i，则这两笔年金的现值相等。若另一笔款项 n 年内以利 率 i 投资可以翻番，求 n。解：201045aa20101145vv ii100.25vi=0.1486982.2.2 期初付定期年金的现值 假设年金支付期限为 n 个时期，每个时期初支付 1 元，那么这种年金就是期初付定期年金。其现值一般用符号表示。在不引起混淆的情况下，通常n ia & &简记为。的计算过程图（略）na & &na & &一、公式2311.n nvvvva & &(1)1 1nnvv vd二、与的关系nana & &1、（可用公式展开证明）(1)nniaa& &2、 （可
4、用图形讲述）11nnaa & &三、例题 1、某企业租用了一间仓库，一次性支付 50000 元的租金后可以使用 8 年， 假设年实际利率为 6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多 少？ 解：设仓库的年租金为 A，可以建立50000=A，A=75968a & &2.2.3 期末付永续年金的现值3永续年金是指无限期支付下去的年金。因此，其现值等于定期年金的现值当支付期限 n 趋于无限大时的极限。若用表示期末付永续年金的现值，则a有 1limnniaa2.2.4 期初付永续年金的现值 一、公式若用表示期初付永续年金的现值，则有a& &1limnndaa& & &二、与的关系aa& &
5、(1 ) i aa& &三、例题 1、某企业租用了一间仓库，一次性支付 50000 元的租金后可以使用 8 年， 假设年实际利率为 6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多 少？ 解：设仓库的年租金为 A，可以建立50000=A，A=75968a & &2、一笔 10000 元的贷款，期限为 10 年。如果年利率为 6%，比较下述三种 还款方式，那种支付的利息多。 （1）在 10 年末一次性偿付所有本息；（2）每 年末支付利息，在第 10 年末再偿付本金；（3）10 年内每年末偿付相等的金额， 在 10 年末刚好付清。 解：（1）这笔款项在第 10 年末的累计值为1010000(
6、1 0.06)17909因此支付的利息总额为：17909-10000=7909 元 （2）每年末支付的利息为10000 0.06600 因此支付的利息总额为：6000 元 （3）设每年末偿付的金额为 A 则1010000AaA=1359 因此支付的利息总额为：1359 1013590 3、A 留下一笔十万元遗产。这笔财产头 10 年的利息付给收益人 B，第 2 个 10 年利息付给收益人 C，此后的均给慈善机构 D。若此项财产的年实际利率 为 7%，试确定 B、C、D 在此项财产中的分额。 解：此项财产实际上为 1000000.007=7000 元其末付永续年金。4B：7000=70007.0
7、236=4916510aC：7000（-）=7000=2499320a10a10a10vD：7000（-）=7000=25842a20aa20v本节重点： 期末付定期年金的现值的计算公式。 本节难点： 公式之间的关系。第 2.3 节：年金的终值定期年金存在终值，而永续年金不存在终值。 本节内容： 2.3.1 期末付定期年金的终值期末付定期年金的终值一般用符号表示。n is一、公式211 (1)(1).(1)nniiis 1 (1)(1)1 1 (1)nnii ii二、解释1(1 )nniis2.3.2 期初付定期年金的终值期初付定期年金的终值一般用符号表示。n is & &一、公式21(1)(
8、1).(1)(1)nn niiiis& &(1)(1 (1) )(1)1(1)1 1 (1)/1nnniiii iiid二、与的关系ns & &ns1、 （可用公式展开证明）(1)nniss& &52、 （可用图形讲述）11nnss& &三、例题 1、某人预计在 10 年后需要 40000 的资金，为此他打算每年初往一种基金 存入一笔钱。如果基金的年实际利率为 6%，那么他每年初应该存入多少钱才能 保证在 10 年末获得 40000 元。 解：假设每年初存入 A 元1040000As& &A=2863 2、投资者 A 和投资者 B 在 40 年间每年末均投资 100，从第 41 年开始，投 资
9、者 A 每年末抽回 X 并持续 15 年，投资者 B 每年末抽回 Y 也持续 15 年。两项 投资在最后一次抽回后的账面余额均为 0.已知投资者 A 得年利率为 8%，投资者 B 的年利率为 10%，求 Y-X。 解：对于投资者 A：40 0.0815 0.08100sXa得 X=3026.54 对于投资者 B：40 0.115 0.1100sYa得 Y=5818.94 Y-X=2792.40本节重点：期末付定期年金的终值。 本节难点：与的关系。ns & &ns第 2.4 节：年金的现值与终值的关系本节内容： 2.4.1 年金的现值与终值之间的换算关系(1)nnnisa(1)nnnisa& &
10、 & &2.4.2 年金的现值与终值之间的倒数关系 11nnias611nndas& & & &本节重点：年金的现值与终值之间的换算关系。 本节难点： 年金的现值与终值之间的倒数关系。第 2.5 节：年金在任意时点上的值本节内容：2.5.1 年金在支付期开始前任意时点上的值一、延期 m 个时期的期末付定期年金的现值。|nma|(1)mm nnnmivaaa|nm nmmaaa二、延期 m 个时期的期末付永续年金的现值|ma|mmv ia三、期初付延期年金的现值的计算（略） 四、例题2.5.2 年金在支付期内任意时点上的值2.5.3 年金在支付期结束后任意时点上的值本节重点：延期 m 个时期的期
11、末付定期年金的现值。|nma本节难点：延期 m 个时期的期末付定期年金的现值。|nma第 2.6 节：可变利率的年金的现值与终值本节内容： 2.6.1 每笔款项都以其支付时的利率计算2.6.2 每笔款项经历哪个时期，就以哪个时期的利率计算7本节重点： 本节难点：补充： 一、非标准时期与利率 二、非复利年金补充概念： 一、利息结转周期和年金支付周期 周期是一个时间的概念。利息结转周期是指结转一次利息所需要的时间长 度；年金支付周期是指支付一次年金所需要的时间长度。 二、利息结转周期和年金支付周期不相等时的的利息问题。具体计算有两种思 路。第 2.7 节 每个利息接转周期支付 m 次的年金（每年支
12、付 m 次年金） 本节内容： 一、此类问题的直接计算 例：一笔 50000 元的贷款，计划在今后的 5 年内按月偿还，如果年实际利 率为 6.09%，试计算每月末的付款金额。 解：月实际利率112(1 0.0609)10.0049386 假设每月末的付款金额为 X，则有60 0.004938650000XaX=965 二、新公式 n 表示利息结转次数，m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，mn 表示 年金的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率。 2.7.1 期末付年金 一、n 表示利息结转次数，m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，i 表示每 个利息结转周期的实际利率，在每个支付周
13、期末付款 1/m 元，每个利息结转周 期的付款是 1 元，那么该年金的现值为：121 ()1(.)nmnmmm navvvvm()()1nmmnviaii二、相应的，在每个支付周期末付款 1/m 元，那么该年金的终值为()()(1)mnm nnsia8()mnisi三、例题 1、投资者在每月末向某基金存入 100 元，如果基金的年实际利率为 5%， 试计算该投资者在第 5 年末的累计值是多少？ 解：m=12，i=5%，每年支付的总额为 1200 元。=6781.37(12) (12)5512001200issi2、有一笔 3000 万元的贷款将在今后的 5 年内每半年末等额偿还一次，若 贷款的
14、年利率为 5%，计算每半年末的付款额 R 应该为多少。 解：每年付款总额为 2R，(2) 523000RaR=342.24 万元2.7.2 期初付年金 一、n 表示利息结转次数，m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，i 表示每 个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期初付款 1/m 元，每个利息结转周 期的付款是 1 元，那么该年金的现值为：121 ()1(1.)nmmmm navvvm& &()()1nmmnvdadd& &二、相应的，在每个支付周期初付款 1/m 元，那么该年金的终值为()()(1)mnm nnsia& & &()mndsd& &三、转换关系1 ()()(1)mmm nn
15、aia& &1 ()()(1)mmm nnsis& &四、例题 例、一笔 50000 元的贷款，计划在今后的 5 年内按月偿还，如果年实际利 率为 6019%，试计算每月初的付款金额。 解：设每月初的付款金额为 X，那么全年付款总额为 12X，因此有(12) 5 0.06095000012Xa& &9X=960 元2.7.3 永续年金 一、m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际 利率，在每个支付周期末付款 1/m 元的永续年金现值为：12 ()1(.)mmmavvm()1mi二、同理，在每个支付周期初付款 1/m 元的永续年金现值为：()ma& &()1md三、转换关系1 ()()(1)mmmaia& &本节重点：的推导。121 ()1(.)nmnmmm navvvvm()()1nmmnviaii本节难点：的推导。121 ()1(.)nmnmmm navvvvm()()1nmmnviaii第 2.8 节 连续年金 本节内容： 2.8.1 连续年金的现值 一、如果总的利息结转次数为 n，每个利息结转周期的实际利率为 i，在每个利息结转周期内连续支付、支付总量为 1 元的年金现值用表示，则有：na0 011|lnntnn tn nvvvv dtva二、的其他推导na三、其他关系nn
