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1、实验实验 7 7 微积分基本运算微积分基本运算一、实验目的一、实验目的 学会用学会用 MATLAB 软件求高等数学中函数的极值、微分、积分的方法软件求高等数学中函数的极值、微分、积分的方法.二、实验内容与要求二、实验内容与要求 1.函数的的极限函数的的极限 格式：格式：limit(F,x,a) %计算符号表达式计算符号表达式 F=F(x)的极限值，当的极限值，当 xa 时；时；limit(F,x,a,right) %计算符号表达式计算符号表达式 F 的右极限，当的右极限，当 x时。时。alimit(F,x,a,left) %计算符号函数计算符号函数 F 的左极限，当的左极限，当 x时。时。a【
2、例例 1.61】 syms x a t h n; L1=limit(cos(x)-1)/x) %缺省状态下，计算当缺省状态下，计算当 x0 时的极限值时的极限值 error! L2=limit(1/x3,x,0,right) L3=limit(1/x,x,0,left) L4=limit(log(x+h)-log(x)/h,h,0) v=(1+a/x)x,exp(-x); L5=limit(v,x,inf,left) L6=limit(1+2/n)(3*n),n,inf)计算结果为：计算结果为：L1 =0L2 =Inf L3 =-Inf L4 =1/x L5 = exp(a), 0 L6 =e
3、xp(6) 2.求单变量函数的极值求单变量函数的极值 格式：格式：fmin(F,a,b) %计算在区间计算在区间 a-b 上函数上函数 F 取最小值时的取最小值时的 x 的值的值. 说明：在说明：在 5.3 及及 5.3 以上版本命令以上版本命令 fmin 已改已改 fminbnd,常用格式如下常用格式如下.X=fminbnd(F,a,b) %计算在区间计算在区间 a-b 上函数上函数 F 取最小值时的取最小值时的 x 的值的值. x,fval=fminbnd(F,a,b)%计算在区间计算在区间 a-b 上函数上函数 F 的最小值的最小值 fval 和对应和对应 的的 x 值。值。【例例 1.
4、62】 求函数求函数 f(x)=在区间（在区间（-2,4）的极小值，并作）的极小值，并作3226187xxx第一章第一章 MATLAB 软件操作实验软件操作实验43图图. f=inline(2*x.3-6*x.2-18*x+7); %建立内联函数建立内联函数 f(x). x,fval=fminbnd(f,-2,4); %求函数求函数 f 的最小值和对应的的最小值和对应的 x 的值。的值。 fplot(f,-2,4)结果为：结果为：x=3.0000Fval=-47.0000如图如图 1.12 所示所示.图图 1.12 例例 1.62 图形结果图形结果注意：用注意：用 inline 建立的函数建立
5、的函数 f,在在 funbnd 和和 fplot 命令中不用加单引号，而用命令中不用加单引号，而用 M 函数文件建立的函数则要加单引号函数文件建立的函数则要加单引号.问题问题 1.25：如何求函数：如何求函数 f 的最大值？的最大值？ 3.函数的微分函数的微分 格式：格式：diff(S,v,n) %对符号表达式对符号表达式 S 中指定的符号变量中指定的符号变量 v 计算计算 S 的的 n 阶导数，阶导数，在缺省状态下，在缺省状态下，v=findsym(S),n=1. 【例例 1.63】syms x y t %计算计算1(sin( 2)*2,2)Ddiffxy2 22 2sinyxx %计算计算
6、21(, )Ddiff D y2 22 2sinyxyx 3( 6,6)Ddiff t计算结果为：计算结果为：-4*sin(x2)*x2*y2+2*cos(x2)*y21D =2D第一章第一章 MATLAB 软件操作实验软件操作实验44-8*sin(x2)*x2*y+4*cos(x2)*y=3D720问题问题 1.26：试一下输入：试一下输入 diff(a3*x3-b*x,a,2),有什么错误？为什么例有什么错误？为什么例 1.63 中中的的 diff(,y),y 可以不加单引号？（因为在可以不加单引号？（因为在syms x y t中已经定义了符号变量中已经定义了符号变量1Dy.如果如果 A
7、是一个矩阵，是一个矩阵，diff(A)有何意义（求每一列元素的差分）？有何意义（求每一列元素的差分）？4。函数的积分。函数的积分(1)quad 法数值积分法数值积分格式：格式：s=quad(fun,a,b) %近似地从近似地从 a 到到 b 计算函数计算函数 fun 的数值积分，误差为的数值积分，误差为610s=quad(fun,a,b,tol)%用指定的绝对误差用指定的绝对误差 tol 代替缺省误差。代替缺省误差。s=quad8(fun,a,b,)%用高精度进行计算，效率可能比用高精度进行计算，效率可能比 quad 更好更好.说明：说明：s=quad8 命令在命令在 6，x 版本用版本用 q
8、uad 代替代替.【例例 1.64】 fun=inline(3*x.2./(x.3-2*x.2+3); %构造一函数构造一函数 fun(x)= 2323 23x xx s1=quad(fun,0,2) s2=quadl(fun,0,2)计算结果为：计算结果为： s1 =3.7224 s2 =3.7224 注意注意:用用 inline 构造函数比用构造函数比用 function 构造函数简单；命令构造函数简单；命令 quadl 最后是字最后是字 母母 1,不是数字不是数字 1. (2)梯形法数值积分梯形法数值积分 格式格式:T=trapz(X,Y) %用梯形法计算用梯形法计算 Y 在在 X 点上
9、的积分点上的积分. 【例例 1.65】 X=-1:.1:1; Y=1./(1+25*X.2); %注意这里用点运算注意这里用点运算 T=trapz(X,Y) %计算函数计算函数 Y 从从-1 到到 1 的积分的积分计算结果为：计算结果为：T =0.5492注意：步长取短，结果较精确注意：步长取短，结果较精确. (3)符号函数的积分符号函数的积分 格式：格式：R=int(S,v) %对符号表达式对符号表达式 S 中指定的符号变量中指定的符号变量 v 计算不定积分计算不定积分. R=int(S,v,a,b) %对表达式对表达式 S 中指定的符号变量中指定的符号变量 v 计算从计算从 a 到到 b
10、的定积分的定积分. 【例例 1.66】1.66】第一章第一章 MATLAB 软件操作实验软件操作实验45symssyms x x z z t t alphaalpha I1I1 =int(-2*x/(1+x3)2)=int(-2*x/(1+x3)2) I2I2 =int(x/(1+z2),z)=int(x/(1+z2),z) I3I3 =int(I2,x,a,b)=int(I2,x,a,b) % %这里积分区间这里积分区间 a,ba,b 由于没定义，所以由于没定义，所以 要加单引号要加单引号 I4I4 =int(x*log(1+x),0,1)=int(x*log(1+x),0,1) I5I5
11、=int(exp(t),exp(alpha*t)=int(exp(t),exp(alpha*t) 计算结果为：计算结果为：I1=-2/9/(x+1)+2/9*log(x+1)I1=-2/9/(x+1)+2/9*log(x+1)1/9*log(x21/9*log(x2x+1)x+1) 2/9*3(1/2)*atan(1/3*(2*x-1)*3(1/2)-2/9*(2*x-1)/(x2-x+1)2/9*3(1/2)*atan(1/3*(2*x-1)*3(1/2)-2/9*(2*x-1)/(x2-x+1)I2I2 =x*atan(z)=x*atan(z)I3I3 =1/2*atan(z)*(b2-a
12、2)=1/2*atan(z)*(b2-a2)I4I4 =1/4=1/4I5I5 = exp(t)exp(t) , , 1/alpha*exp(alpha*t)1/alpha*exp(alpha*t) 问题问题 1。27： 输入输入 I6=int(exp(-y2)+log(y),1,10),I6=int(exp(-y2)+log(y),1,10),结果较复杂，怎么结果较复杂，怎么 办？办？ （这时常用（这时常用 evaleval 命令进一步求数值解）命令进一步求数值解）I6=1/2*pi(1/2)*erf(10)+10*log(2)+10*log(5)-9-I6=1/2*pi(1/2)*erf(
13、10)+10*log(2)+10*log(5)-9- 1/2*pi(1/2)*erf(1)1/2*pi(1/2)*erf(1)I61=eval(16)I61=eval(16)I61=I61=14.165314.1653 5 5泰勒级数展开泰勒级数展开格式：格式：taylor(f)taylor(f) % %求出符号函数求出符号函数 f f 在在 x=0x=0 处的阶麦克劳林年型泰勒展开式。处的阶麦克劳林年型泰勒展开式。Taylor(f,n,v,a)Taylor(f,n,v,a) % %求出符号函数求出符号函数 f f 的在的在 v=av=a 点的点的 n-1n-1 阶泰勒展开式。阶泰勒展开式。
14、【例例 1.67】1.67】symssyms a a x xf=a/(x-10);f=a/(x-10);y1=taylor(f,x,3)y1=taylor(f,x,3) % %求求 f f 在在 x=0x=0 处的阶泰勒展开式处的阶泰勒展开式 计算结果为：计算结果为：y1=y1=-1/10*a-1/100*a*x-1/1000*a*x2-1/10*a-1/100*a*x-1/1000*a*x2y2=y2=-1/6*a-1/36*a*(x-4)-1/216*a*(x-4)2-1/6*a-1/36*a*(x-4)-1/216*a*(x-4)2 6.6. 傅里叶级数展开傅里叶级数展开TALABTAL
15、AB 中没有专门用于傅里叶级数展开的命令，可编一个函数文件实现。中没有专门用于傅里叶级数展开的命令，可编一个函数文件实现。 FunctionFunction a0,an,bn=mfourier(f)a0,an,bn=mfourier(f) SymsSyms n n x x a0=int(f,-pi,pi)/pi;a0=int(f,-pi,pi)/pi; an=int(f*cos(n*x),-pi,pi)/pi;an=int(f*cos(n*x),-pi,pi)/pi; bn=int(f*sin(n*x),-pi,pi)/pi;bn=int(f*sin(n*x),-pi,pi)/pi;第一章第一章 MATLAB 软件操作实验软件操作实验46【例例 1.68】1.68】symssyms x xf=x2+x;f=x2+x;a0,an,bn=mfourier(f)a0,an,bn=mfourier
