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1、开关开关电电路与布路与布尔尔代数代数 开关开关电电路与布路与布尔尔代数代数 是根据教育部制是根据教育部制订订的的 普通高中数学普通高中数学课课程程标标准准(实验实验) 选选修系列修系列4第第10个个专题专题“开关开关电电路与布路与布尔尔代数代数”的要求的要求编编写的，根据写的，根据 标标准准 的要求的要求,教科教科书书以开关以开关电电路路设计为设计为背景引入一种背景引入一种类类似数的似数的对对象并引入象并引入这这些些对对象之象之间间的运算的运算.因因为为,在初中物理中在初中物理中,我我们们都都学学习习了基本了基本电电路路串串联电联电路和并路和并联电联电路，已路，已经经熟悉了熟悉了这这些些电电路
2、的基路的基本功能本功能, 也能熟也能熟练练地利用地利用这这些些电电路搭建路搭建较为较为复复杂杂的的电电路，那么能不能路，那么能不能用数学来帮助我用数学来帮助我们们刻画刻画这这些些现现象呢象呢?于是于是,我我们们将将对这对这种新的运算系种新的运算系统进统进行探行探讨讨,得出得出类类似于似于“数的运算数的运算”的各种性的各种性质质，最后，最后应应用用这这个数学个数学理理论论, 彻彻底解决开关底解决开关电电路的路的设计问题设计问题， ，这这就是本就是本专题专题将要解决的将要解决的问题问题.本本专题专题以以设计设计由三人控制一个由三人控制一个电电灯的灯的电电路路为为背景，从开关背景，从开关电电路路设计
3、设计， ，提出一个具体提出一个具体问题问题，将，将电电路路设计设计数学化数学化为电为电路代数和路代数和电电路多路多项项式，再式，再数学地研究数学地研究电电路和路和电电路多路多项项式式，完全解决最初提出的，完全解决最初提出的问题问题,完整地完整地给给出一个出一个电电路代数的数学模型，路代数的数学模型，这这也是布也是布尔尔代数的一个代数的一个实际应实际应用用,从中从中可感受到数学化的抽象可感受到数学化的抽象过过程，以及数学理程，以及数学理论论的的应应用价用价值值.一、背景知一、背景知识识介介绍绍布布尔尔代数又称代数又称逻辑逻辑代数，正是以它的代数，正是以它的创创立者立者英国数学家英国数学家乔乔治治
4、.布布尔尔（ （G.Boole）而命名）而命名.1815年生于年生于伦伦敦的布敦的布尔尔家境家境贫贫寒，父寒，父亲亲是位鞋是位鞋匠，无力供他匠，无力供他读书读书.他的学他的学问问主要来自于自学主要来自于自学.年年仅仅12岁岁，布，布尔尔就掌握就掌握了拉丁文和希腊了拉丁文和希腊语语，后来又自学了意大利，后来又自学了意大利语语和法和法语语.16岁岁开始任教以开始任教以维维持生活，从持生活，从20岁岁起布起布尔对尔对数学数学产产生了生了浓浓厚厚兴兴趣，广泛涉趣，广泛涉猎猎著名数学著名数学家牛家牛顿顿、拉普拉斯、拉格朗日等人的数学名著，并写下大量笔、拉普拉斯、拉格朗日等人的数学名著，并写下大量笔记记.
5、这这些些笔笔记记中的思想，中的思想，1847年被用于他的第一部著作年被用于他的第一部著作 逻辑逻辑的数学分析的数学分析 之中之中.1854年，已年，已经经担任柯克大学教授的布担任柯克大学教授的布尔尔再次出版再次出版 思思维规维规律的研究律的研究逻辑逻辑与概率的数学理与概率的数学理论论基基础础 .以以这这两部著作，布两部著作，布尔尔建立了一建立了一门门新的新的数学学科数学学科. 在布在布尔尔代数里，布代数里，布尔尔构思出一个关于构思出一个关于 0 和和 1 的代数系的代数系统统，用，用基基础础的的逻辑逻辑符号系符号系统统描述物体和概念描述物体和概念.这这种代数不种代数不仅仅广泛用于广泛用于概率和
6、概率和统计统计等等领领域，更重要的是，它域，更重要的是，它为为今后数字今后数字计计算机开关算机开关电电路路设计设计提供了最重要数学方法提供了最重要数学方法. 布布尔尔一生一生发发表了表了 50 多篇科学多篇科学论论文、两部教科文、两部教科书书和两卷数学和两卷数学逻辑逻辑著作著作.为为了表彰他的成功，都柏林大学和牛津大学先后授予了表彰他的成功，都柏林大学和牛津大学先后授予这这位自学的成才的数学家荣誉学位，他位自学的成才的数学家荣誉学位，他还还被推被推选为选为英国皇家学英国皇家学会会会会员员. 开关开关电电路与布路与布尔尔代数的关系信息代数的关系信息论论的的创创始人克始人克劳劳德德香香农农（ （C
7、. E. Shannon） ）对现对现代代电电子子计计算机的算机的产产生和生和发发展有重要影响，是展有重要影响，是电电子子计计算算机理机理论论的重要奠基人之一的重要奠基人之一，1938 年，香年，香农发农发表了著名的表了著名的论论文文 继电继电器器和开关和开关电电路的符号分析路的符号分析 ， ，首次用布首次用布尔尔代数代数进进行开关行开关电电路分析，并路分析，并证证明布明布尔尔代数的代数的逻辑逻辑运算，可以通运算，可以通过继电过继电器器电电路来路来实现实现，明确地，明确地给给出了出了实现实现加，减，乘，除等运算的加，减，乘，除等运算的电电子子电电路的路的设计设计方法方法.这这篇篇论论文成文成为
8、为开关开关电电路理路理论论的开端的开端 香香农农在在贝尔实验贝尔实验室工作中室工作中进进一步一步证证明，可以采用能明，可以采用能实现实现布布尔尔代数运算的代数运算的继电继电器或器或电电子元件来制造子元件来制造计计算机，香算机，香农农的理的理论还为论还为计计算机具有算机具有逻辑逻辑功能奠定了基功能奠定了基础础，从而使，从而使电电子子计计算机既能用于算机既能用于数数值计值计算，又具有各种非数算，又具有各种非数值应值应用功能，使得以后的用功能，使得以后的计计算机在算机在几乎任何几乎任何领领域中都得到了广泛的域中都得到了广泛的应应用用. 1840 年取得了博士学位，香年取得了博士学位，香农农在在 AT
9、1) a + b = b + a (加法交加法交换换律律) ,a b = b a (乘法交乘法交换换律律) ;2) ( a + b) + c = a + ( b + c) (加法加法结结合律合律) ,( a b) c = a ( b c) (乘法乘法结结合律合律) ;3) a ( b + c) = a b + a c (乘法乘法对对加法的分配律加法的分配律) ,a + ( b c) = ( a + b) ( a + c) (加法加法对对乘法的分配律乘法的分配律)4) a + 0 = a , a 1 = a ,a + 1 = 1 , a 0 = 0 ;5) a + a = a (加法的加法的幂幂
10、等律等律) ,a a = a (乘法的乘法的幂幂等律等律) ;6) ;aa 7) , ； ；babababa8) ， ， 1 aa0aa证证明明 6) 的的证证明明:当当a = 0 时时, ，而当，而当a=1时时， ，.故当故当a取取010101任意任意值时值时，都有，都有 .6）得）得证证aa 7） ）的的证证明如下表明如下表babaa b baba 0 0 = 1 + 1 = 11000000 1 = 1 + 0 = 11010101 0 = 0 + 1 = 11001011 1 = 0 + 0 = 0011111其它的其它的证证明明类类似都可完成似都可完成. 这这里很多定律，特里很多定律
11、，特别别是是5），和数的运算），和数的运算规则规则很不一很不一样样，但在布，但在布尔尔代数中却是成立的代数中却是成立的.2.布布尔尔多多项项式式把布把布尔尔代数代数B 上的一些上的一些变变元以及元以及0 和和1 用布用布尔尔代数代数B 的三个运算的三个运算逐次运算逐次运算(合理合理联结联结) 起来的式子起来的式子,就叫做布就叫做布尔尔多多项项式式. .例如例如cbacbacba bacbacba等等都是布等等都是布尔尔多多项项式，但，例如式，但，例如却不是布却不是布尔尔多多项项式，因式，因为为它它ba不是合理不是合理联结联结起来的，起来的，对对它我它我们们无法逐次无法逐次进进行运算行运算. .
12、下面我下面我们们来来说说明什么明什么时时候两个布候两个布尔尔多多项项式是相等的，我式是相等的，我们规们规定：定：两个布两个布尔尔多多项项式相等，当且式相等，当且仅仅当其中当其中变变元取定任意元取定任意值时值时， ，这这两个布两个布尔尔多多项项式的式的值值相等相等. .也就是也就是说说，我，我们们是从是从“函数函数观观点点”来看待他来看待他们们相等，相等，而不管它而不管它们们形式上是否一形式上是否一样样， ，例如布例如布尔尔多多项项式式和和 是相等的是相等的. .aaa我我们们知道，在中学知道，在中学讨论讨论数系上的多数系上的多项项式式时时有两个有两个问题问题，一是化，一是化简简（去（去括号、合
13、并同括号、合并同类项类项等），二是等），二是标标准形式准形式. .先来先来说说多多项项式的化式的化简简，化，化简时简时每一步只能根据定理每一步只能根据定理1 1中的各种算律，不能有一点中的各种算律，不能有一点马马虎虎. .为为了方便，我了方便，我们约们约定定“先乘后加先乘后加”， ，“略去乘号略去乘号”，并将随，并将随时时随地使用随地使用结结合律、交合律、交换换律律. .根据根据幂幂等律，永等律，永远远可用可用a a代替代替aaaa，因而化，因而化简简后后,可使乘可使乘积积中同一因子只中同一因子只出出现现一次一次, 类类似地似地, 化化简时简时可用可用a 代替代替a + a ,因而在求和因而在
14、求和时时可可认认定每定每一加一加项项只出只出现现一次一次,根据定理根据定理1 中中4) ,布布尔尔多多项项式在化式在化简简后没有后没有“常数常数项项”,因因为为若若“常数常数项项”是是0 ,则则可略去可略去;若它是若它是1 ,则则整个布整个布尔尔多多项项式就等式就等于于1 了了,所以除布所以除布尔尔多多项项式本身是式本身是0 或或1 外外,可可认认定它定它们们没有没有“常数常数项项”,类类似地似地,我我们们可可认认定每一乘定每一乘积积前是没有前是没有“系数系数”的的.作作为举为举例例, 我我们们来化来化简简上面第二个布上面第二个布尔尔多多项项式式. cbacaabcbacaabababcbac
15、aababcbacba)()(下面我下面我们们来考来考虑虑布布尔尔多多项项式的式的标标准形式，准形式，还还是以上面布是以上面布尔尔多多项项式式为为例，例，该该多多项项式涉及式涉及a,b,ca,b,c三个三个变变元，化元，化简结简结果果虽虽已得已得“积积之和之和”的形的形式，但式，但这这些乘些乘积项积项中有的只出中有的只出现现两个两个变变元，甚至只含一个元，甚至只含一个变变元，很不元，很不整整齐齐，我，我们们希望每一乘希望每一乘积项积项三个三个变变元全部出元全部出现现，利用定理，利用定理1 1，特，特别别是是及及a 1 = a， ，这这是可以是可以办办到的，作法如下：到的，作法如下：1 aabcacbacbacbacbacababccbabcacbaabccbacbacbacabcababccbbaaccbacbbaccabcbacaab)()()()(这样这样， ，这这个三个个三个变变元元a,b,ca,b,c的布的布尔尔多多项项式就化成式就化成“和之和之积积”的形式且在的形式且在每一乘每一乘积项积项中三个中三个变变元元都各出都各出现现一次，即得一次，即得)(),()
