《高等数学 微积分A2002(2)期末试卷A卷答案(北京理工大学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 微积分A2002(2)期末试卷A卷答案(北京理工大学（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2002 级第二学期高等数学级第二学期高等数学 A 期末试题期末试题参考答案参考答案一、一、1，)()()()(2xy xyfyxxyfxz xxyfyxxyfyz1)()()( zxyfyxyzyxzx )()(2交换积分次序交换积分次序).122(9211310203102 dxxxdyxdxIx3 定义域定义域 , 0),(RyxyxD 令令 , 0cos1ln yxfx, 0sin)1( yxfy解得驻点解得驻点 ), 2, 1, 0(),(1)1(L kkek ;1 xfAxx ;sin yfBxy ;cos)1(yxfCyy 为为偶偶数数）点点，均均有有：（，为为偶偶数数，即即在在
2、（当当kkk)1 , 0, 012 BACA；为为偶偶数数）均均取取得得极极小小值值在在点点故故kkyxf)(, 1(),( 为为奇奇数数）点点，均均有有：，为为奇奇数数，即即在在（当当kkek)(2 , 0, 022 BACeA;)(, 1(),(为为偶偶数数）均均不不取取得得极极值值在在点点故故kkyxf .),(没没有有极极大大值值点点有有无无穷穷多多个个极极小小值值点点但但所所以以yxf4 ;22yxx xu ;22yxy yu ; 1 zu;222222yxxy xu ;222222yxyx yu ; 022 zu)()(kzujyuixudivgradudivrrr )()()(z
3、u zyu yxu x 222222zu yu xu . 0022222222 yxyx yxxy5该级数为正项级数，该级数为正项级数，), 2 , 1( , 0L nun, 211sin11sin)1( 23nnnnnnnnnnun ， 收收敛敛级级数数 1232nn 原原级级数数收收敛敛由由比比值值判判别别法法 ,二、二、1由对称性由对称性 1)(822dSyxI)(1为为球球面面在在第第一一卦卦限限部部分分 dxdy yxRRyxxyD 2222)(8)0, 0,:(222 yxRyxDxy.3884222 002Rd RRdR 2. ;4)43(13 pppxyxyxyyX;)4(21
4、42ykqxyykxxxYqq 曲线积分与路径无关，曲线积分与路径无关，,xY yX 即即 解得解得 ,4211ykqxpxyqp . 6; 3; 2 kpq3 , 1 xt令令,ln)1(1 nnn tnn原原级级数数化化为为, 11)1ln(1ln11lim)1ln()1(lnlimlim1 nnnnnn nnnn aannnnn ，, 1 R所所以以收收敛敛半半径径111 x由由, 20 x解解得得），为为（所所以以原原级级数数的的收收敛敛区区间间20；发发散散时时，级级数数当当)1lnlim1ln1lim(ln101 nnnnnn nnx nnnQ).(ln)1(21莱莱布布尼尼兹兹型
5、型级级数数收收敛敛时时，级级数数当当 nnnnx4 ,)1(32)1ln(132 LL nxxxxxn n)2()1(3)2( 2)2(2)21ln()(132 22LL nxxxxxxxxfn n,2)1(382221543LL nn nxnxxx,38 ! 5)0(5)5( af.320! 538)0()5( f三、解三、解 ,1,2 ,21,2 ,2000 yxyxnPr曲曲面面法法向向量量 ,2, 4, 82 , 1 , 12, 3 , 1 sr的的方方向向向向量量直直线线,| snrr由由题题意意,21 42 8200 yx故故; 1; 200 yx解解得得; 5)1(222 0 z
6、），点点的的坐坐标标为为（5120 P该该点点的的法法向向量量 ,1, 2, 4 nr切平面方程为切平面方程为 , 0)5()1(2)2(4 zyx即即 . 0524 zyx四、解四、解 ，的的密密度度为为设设实实心心体体 ;2110202 dzdddvV体体积积由对称性由对称性 ; 0; 0 yx;32 32211110202 zdzdddvzMz质心坐标为质心坐标为 ).32, 0 , 0(五、解五、解 xdxxxdxxxdxxxb2sin12sin12sin)(122 2 00)2cos(102sin2xxdxdxx; 12sin212cos1 xxx 由由 Fourier 级数的收敛定
7、理（狄里克莱条件）级数的收敛定理（狄里克莱条件） ，得，得),()cossin(210xfnxbnxaannn ,( x,代代入入将将 x.)()1(2210 faannn六、解六、解 补一个面补一个面 ,01:221 zyx的的下下侧侧，取取1 则则,11 I由高斯公式由高斯公式 1)()()(dxdyzxydzdxyzxdydzxyz.23233)111( dxdydzdxdydz 1)()()(dxdyzxydzdxyzxdydzxyz而而, 01 xyDxydxdyxydxdy.2 I七、证七、证 由格林公式，得由格林公式，得dxdyeedxyedyxexDyCxy)(coscoscoscos 为为所所围围成成的的区区域域）D(dxdyeeyDx)(coscos dxdyeeeeyyDxx)()(21coscoscoscos .22)22(21 DDdxdydxdy
