《小学奥数教案第十三讲中国剩余定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数教案第十三讲中国剩余定理（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十三 讲中国剩余定理 教学目的：理解掌握中国剩余定理 教学重点：理解掌握中国剩余定理，并会解决类似问题 教学难点：理解理解掌握中国剩余定理 教学时数：2 课时 教学方法：讲解法，讨论法，练习法 教学过程： 什么是中国剩余定理？中国剩余定理例题讲解 1中国剩余定理例题讲解 23、中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书孙子算经中，有这 样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。问物几 何？意思 是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩 二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最 后剩二个，问这堆 东西有多少个？ 你知道这个
2、数目吗？孙子算经这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的 具 体体现，针对这道题给出的解法是： N=702213152-210523 如此巧妙的解法的关键是数字 70、21 和 15 的选择： 70 是可以被 5、7 整除且 被 3 除余 1 的最小正整数，当 702 时被 3 除余 2 21 是可以被 3、7 整除且被 5 除余 1 的最小正整数，当 213 时被 5 除余 3 15 是可以被 3、5 整除且被 7 除余 1 的最小正整数，当 152 时被 7 除余 2 通过这种构造方法得到的 N 就可 以满足题目的要求而减去 2105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。中国剩余
3、定理练习题及解法一、填空题1. 有一个数，除以 3 余数是 1，除以 4 余数是 3，这个数除以 12 余数是 _.2. 一个两位数,用它除 58 余 2,除 73 余 3,除 85 余 1,这个两位数是_.3. 学习委员收买练习本的钱,她只记下四组各交的钱,第一组 2.61 元,第二 组 3.19 元,第三组 2.61 元,第四组 3.48 元,又知道每本练习本价格都超过 1 角, 全班共有_人.4. 五年级两个班的学生一起排队出操,如果 9 人排一行,多出一个人；如果 10 人排一行，同样多出一个人.这两个班最少共有_人.5. 一个数能被 3、5、7 整除，若用 11 去除则余 1，这个数
4、最小是_.6. 同学们进行队列训练,如果每排 8 人,最后一排 6 人；如果每排 10 人， 最后一排少 4 人.参加队列训练的学生最少有_人.7. 把几十个苹果平均分成若干份,每份 9 个余 8 个,每份 8 个余 7 个,每份 4 个余 3 个.这堆苹果共有_个.8. 一筐苹果,如果按 5 个一堆放,最后多出 3 个.如果按 6 个一堆放,最后多 出 4 个.如果按 7 个一堆放,还多出 1 个.这筐苹果至少有_个.9. 除以 3 余 1,除以 5 余 2,除以 7 余 4 的最小三位数是_.10. 有一筐鸡蛋,当两个两个取、三个三个取、四个四个取、五个五个取时， 筐内最后都是剩一个鸡蛋；
5、当七个七个取出时，筐里最后一个也不剩.已知筐里 的鸡蛋不足 400 个,那么筐内原来共有_个鸡蛋.二、解答题11有一盒乒乓球，每次 8 个 8 个地数，10 个 10 个地数，12 个 12 个地数， 最后总是剩下 3 个.这盒乒乓球至少有多少个?12. 求被 6 除余 4,被 8 除余 6,被 10 除余 8 的最小整数.13. 一盒围棋子,三只三只数多二只,五只五只数多四只,七只七只数多六只,若 此盒围棋子的个数在 200 到 300 之间,问有多少围棋子?14. 求一数,使其被 4 除余 2,被 6 除余 4,被 9 除余 8.-答 案-1. 7因为除以 3 余数是 1 的数是1,4,7
6、,10,13,16,19,22,25,28,31,除以 4 余数是 3 的数是 3,7,11,15,19,23,27,31所以，同时符合除以 3 余数是 1，除以 4 余数是 3 的数有 7，19，31，这 些数除以 12 余数均为 7.2. 14用一个两位数除 58 余 2,除 73 余 3,除 85 余 1,那么 58-2=56, 73-3=70,85- 1=84 能被这个两位数整除,这个两位数一定是 56、70 和 84 的公约数.2 56 70 847 28 35 424 5 6由可可见,56、70、84 的两位数公约数是 2 7=14，可见这个两位数是 14.3. 41根据题意得31
7、9-261=练习本单价 第二、一组人数之差，348-319=练习本单价 第四、二组人数之差.即练习本单价 第二、一组人数之差=58,练习本单价 第四、二组人数之差=29，所以,练习本单价是 58 与 29 的公约数,这样,练习本的单价是 29 分,即 0.29 元.因此,全班人数是(2.61 2+3.19+3.48) 0.29=11.89 0.29=41(人)注这里为了利用练习本单价是总价的公约数这一隐含条件,将小数化成整 数来考虑,为解决问题提供了方便.这里也可直接找 261、319 和 348 的公约数， 但比较困难.上述解法从一定意义上说是受了辗转相除法的启示.4. 91如果将两个班的人
8、数减少 1 人,则 9 人一排或 10 人一排都正好排完没有剩 余,所以两班人数减 1 是 9 和 10 的公倍数,又要求这两班至少有几人,可以求出 9 和 10 的最小公倍数,然后再加上 1.所以,这两个班最少有9 10+1=91(人)5. 210一个数能被 3,5,7 整除,这个数一定是 3,5,7 的公倍数.3,5,7 的公倍数依 次为:105,210,315,420,，其中被 11 除余数为 1 的最小数是 210，所以这 个最小数是 210.6. 46 人.如果总人数少 6 人,则每排 8 人和每排 10 人,均恰好排完无剩余.由此可见, 人数比 10 和 8 的最小公倍数多 6 人
9、,10 和 8 的最小公倍数是 40,所以参加队列 训练的学生至少有 46 人.7. 71依题意知,这堆苹果总个数,添进 1 个苹果后,正好是 9,8,4 的倍数.因为 9,8,4 的最小公倍数是 9 8=72,所以这堆苹果至少有 9 8-1=71(个).注本题为什么求 9,8,4 的最小公倍数呢?这是根据限制条件“这堆苹果共 几十个“决定的.若限制条件改为“这堆苹果的个数在 100-200 之间“的话，那么 这堆苹果共有 9 8 2-1=141（个）.因此，在解答问题时，一定要把条件看清楚， 尤其要注意“隐含条件“的应用.8. 148从 6 和 7 的公倍数 42,84,126,中找到除以
10、5 余 3 的数是 378（可以先 找到除以 5 余 1 的数 126，再乘以 3 即可）.从 5 和 7 的公倍数 35,70,中找到除以 6 余 4 的数是 70.从 5 和 6 的公倍数 30,60,90，120，中找到除以 7 余 1 的数是 120.5,6,7 的最小公倍数是 5 6 7=210.所以,这筐苹果至少有568-210 2=148 个.9. 172因为除以 3 余 1,除以 5 余 2 的最小数是 22,而 3 和 5 的最小公倍数是 15, 所以符合条件的数可以是 22,37,52,67,.又因为 67 7=94，所以 67 是符 合题中三个条件的最小数，而 3，5 和
11、 7 的最小公倍数是 105，这样符合条件的 数有 67，172，277，.所以,符合条件的最小三位数是 172.10. 301先求出 2,3,4,5 的最小公倍数是 60,然后用试验法求出 60 的倍数加 1 能被 7 整除的数60+1=6160 2+1=12160 3+1=18160 4+1=24160 5+1=301其中 301 能被 7 整除.所以筐内原来有 301 个鸡蛋.11. 如果这盒乒乓球少 3 个的话,8 个 8 个地数,10 个 10 个地数,12 个 12 个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少 3 个后是 8,10,12 的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出
12、 8,10,12 的最小公倍数,然后再加上 3.2 8 10 122 4 5 62 5 3故 8,10,12 的最小公倍数是 2 2 2 5 3=120.所以这盒乒乓球有 123 个.12. 设所求数为 ,则 +2 就能同时被 6,8,10 整除.由于6,8,10=120,所 以 =120-2=11813. 设有 个围棋子,则 +1 是 3,5,7 的倍数, +1 是3,5,7=3 5 7=105 的倍数, +1=210, =209.14. 无解,若该数存在必为 8+18 ( 为整数),它被 6 除只能余 2,矛盾. 1、一个数被 3 除余 1，被 4 除余 2，被 5 除余 4，这个数最小是
13、几？题中 3、4、5 三个数两两互质。则4，5=20；3，5=15；3，4=12；3，4，5=60。为了使 20 被 3 除余 1，用 202=40；使 15 被 4 除余 1，用 153=45；使 12 被 5 除余 1，用 123=36。然后，401452364=274，因为，27460，所以，274604=34，就是所求的数。 2、一个数被 3 除余 2，被 7 除余 4，被 8 除余 5，这个数最小是几？题中 3、7、8 三个数两两互质。则7，8=56；3，8=24；3，7=21；3，7，8=168。为了使 56 被 3 除余 1，用 562=112；使 24 被 7 除余 1，用 2
14、45=120。使 21 被 8 除余 1，用 215=105；然后，112212041055=1229，因为，1229168，所以，12291687=53，就是所求的数。 3、一个数除以 5 余 4，除以 8 余 3，除以 11 余 2，求满足条件的最小的自然数。题中 5、8、11 三个数两两互质。则8，11=88；5，11=55；5，8=40；5，8，11=440。为了使 88 被 5 除余 1，用 882=176；使 55 被 8 除余 1，用 557=385；使 40 被 11 除余 1，用 408=320。然后，176438533202=2499，因为，2499440，所以，24994
15、405=299，就是所求的数。 4、有一个年级的同学，每 9 人一排多 5 人，每 7 人一排多 1 人，每 5 人一排多 2 人，问这个年级至少有多少人 ？（幸福 123 老师问的题目）题中 9、7、5 三个数两两互质。则7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。为了使 35 被 9 除余 1，用 358=280；使 45 被 7 除余 1，用 455=225；使 63 被 5 除余 1，用 632=126。然后，280522511262=1877，因为，1877315，所以，18773155=302，就是所求的数。5、有一个年级的同学，每 9 人一排多 6 人，每 7 人一排多 2 人，每 5 人一排多 3 人，问这个年级至少有多少人 ？（泽林老师的题目）题中 9、7、5 三个数两两互质。则7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。为了使 35 被 9 除余 1，用 358=280；使 45 被 7 除余 1，用 455=225；使 63 被 5 除余 1，用 632=126。然后，280622521263=2508，因为，2508315，所以，25083157=303，就是所求的数。 6、中国剩余定
