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1、概率论与数理统计试卷 A 卷 第 1 页 共 4 页深圳大学期末考试试卷参考解答及评分标准深圳大学期末考试试卷参考解答及评分标准开/闭卷闭卷A/B 卷 A课程编号2219002801- 2219002811课程名称概率论与数理统计学分3命题人(签字) 审题人(签字) 年 月 日题号一二三四五六七八九十基本题 总分附加题得分评卷人第一部分 基本题 一、选择题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内) (每道选择题选对满分,选 错 0 分) 1. 事件表达式 AB 的意思是 ( ) (A) 事件 A 与事
2、件 B 同时发生(B) 事件 A 发生但事件 B 不发生 (C) 事件 B 发生但事件 A 不发生(D) 事件 A 与事件 B 至少有一件发生 答:选 D,根据 AB 的定义可知。 2. 假设事件 A 与事件 B 互为对立,则事件 AB( ) (A) 是不可能事件(B) 是可能事件 (C) 发生的概率为 1(D) 是必然事件 答:选 A,这是因为对立事件的积事件是不可能事件。 3. 已知随机变量 X,Y 相互独立,且都服从标准正态分布,则 X2Y2服从 ( ) (A) 自由度为 1 的2分布(B) 自由度为 2 的2分布 (C) 自由度为 1 的 F 分布(D) 自由度为 2 的 F 分布 答
3、:选 B,因为 n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为 n 的2分布。 4. 已知随机变量 X,Y 相互独立,XN(2,4),YN(2,1), 则( ) (A) X+YP(4)(B) X+YU(2,4)(C) X+YN(0,5)(D) X+YN(0,3) 答:选 C,因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布,而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2- 2=0, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5, 所以有 X+YN(0,5)。 5. 样本(X1,X2,X3)取自总体 X,E(X)=, D(X)=2, 则有( ) (A) X1+X2+X3是的无偏估计(B) 是
4、的无偏估计123 3XXX(C) 是2的无偏估计(D) 是2的无偏估计2 2X2 123 3XXX答:选 B,因为样本均值是总体期望的无偏估计,其它三项都不成立。 6. 随机变量 X 服从在区间(2,5)上的均匀分布,则 X 的数学期望 E(X)的值为( ) (A) 2(B) 3(C) 3.5(D) 4 答:选 C,因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。把答案填在题中横线上)_ _ 学院 专业 姓名 学号 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) 密封线 线概率论与数理统计试卷 A 卷 第 2 页 共 4 页1. 已知
5、 P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则 P(AB)= _ 答:填 0.18, 由乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A)=0.60.3=0.18。 2. 三个人独立地向一架飞机射击,每个人击中飞机的概率都是 0.4,则飞机被击中的概 率为_ 答:填 0.784,是因为三人都不中的概率为 0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是 10.216=0.784。 3. 一个袋内有 5 个红球,3 个白球,2 个黑球,任取 3 个球恰为一红、一白、一黑的概 率为_答:填 0.25 或,由古典概型计算得所求概率为。1 43 105 3 210.254C 4. 已知连续型随机变量 则 PX
6、1.5=_,01, ( )2,12,0,.xx Xf xxx 其其答:填 0.875,因 PX1.5。1.50( )d0.875f xx5. 假设 XB(5, 0.5)(二项分布), YN(2, 36), 则 E(X+Y)=_ 答:填 4.5,因 E(X)=50.5=2.5, E(Y)=2, E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.5+2=4.5 6. 一种动物的体重 X 是一随机变量,设 E(X)=33, D(X)=4,10 个这种动物的平均体重记 作 Y,则 D(Y)_ 答:填 0.4,因为总体 X 的方差为 4,10 个样本的样本均值的方差是总体方差的 1/10。 三、有两个口袋,甲袋中盛
7、有两个白球,一个黑球,乙袋中盛有一个白球,两个黑球。 由甲袋任取一个球放入乙袋,再从乙袋中取出一个球,求取到白球的概率。 (10 分) 解:设从甲袋取到白球的事件为 A,从乙袋取到白球的事件为 B,则根据全概率公式有( )( ) (|)( ) (|) 211150.417323412P BP A P B AP A P B A四、已知随机变量 X 服从在区间(0,1)上的均匀分布,Y2X +1,求 Y 的概率密度函数。 (10 分)解:已知 X 的概率密度函数为1,01,( )0,.Xxfx 其其Y 的分布函数 FY(y)为11( )2122YXyyFyP YyPXyP XF 因此 Y 的概率密
8、度函数为1,13,11( )( )2220,.YYXyyfyFyf其其五、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下表所示:Y X112概率论与数理统计试卷 A 卷 第 3 页 共 4 页10.10.20.3 20.20.10.1 (1) 试求 X 和 Y 的边缘分布率 (2) 试求 E(X),E(Y),D(X),D(Y),及 X 与 Y 的相关系数XY(满分 10 分) 解:(1)将联合分布表每行相加得 X 的边缘分布率如下表: X12 p0.60.4 将联合分布表每列相加得 Y 的边缘分布率如下表: Y112 p0.30.30.4 (2) E(X)10.6+20.4=0.2, E(
9、X2)=10.6+40.4=2.2, D(X)=E(X2)E(X)2=2.20.04=2.16 E(Y)10.3+10.3+20.4=0.8, E(Y2)=10.3+10.3+40.4=2.2 D(Y)= E(Y2)E(Y)2=2.20.64=1.56 E(XY)=(1)(1)0.1+(1)10.2+(1)20.3+2(1)0.2+210.1+220.1=0.10.20.60.4+0.2+0.40.5 cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)0.50.160.66cov(, )0.660.660.361.836()( )2.16 1.56XYX Y D X D Y 六、设某种电子管的使用寿
10、命服从正态分布。从中随机抽取 15 个进行检验,算出平均使 用寿命为 1950 小时,样本标准差 s 为 300 小时,以 95%的置信概率估计整批电子管平均 使用寿命的置信区间。 (满分 10 分) 解:已知样本均值, 样本标准差 s=300, 自由度为 151=14, 查 t 分布表得1950x t0.025(14)=2.1448, 算出, 因此平均使用寿命的置信区间0.0252.1448 300(14)166.13.87315st为,即(1784, 2116)。166.1x 附:标准正态分布函数表221( )ed2uxxu(x)0.90.950.9750.99x1.2815511.644
11、8531.9599612.326342t 分布表 Pt(n)tn)= N0.10.050.025141.34501.76132.1448 151.34061.75312.1315 161.33681.74592.1199 第二部分 附加题 附加题 1 设总体 X 的概率密度为(1),01,( ; )0,xxf x 其其其中1 为未知参数,又设 x1,x2,xn是 X 的一组样本观测值,求参数的最大似然估计概率论与数理统计试卷 A 卷 第 4 页 共 4 页值。 (满分 15 分) 解:似然函数1(1)n n i iLx 11lnln(1)lndlnlnd(1)ni ini iLnxLnx令,解出的最大似然估计值为dln0dL 11 lnni inx 附加题 2 设随机变量 X 与 Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关 于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处。 (满分 15 分)YXy1y2y3PX=xi=ipx11 8x21 8PY=yj=jp1 61解:已知 X 与 Y 独立,则 pij=P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj), 经简单四则运算,可得YXy1y2y3PX=xi=ipx11 241 81 121 4x21 83 81 43 4PY=yj=jp1 61 21 31