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1、不可约多项式的判定及应用摘 要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。研究了各判定方法的等价和包含关系。此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。关键词不可约多项式；判定方法；应用Judgment and Application of Irreducible PolynomialsAbstractThe theory of polyno
2、mial is an important portion of advanced algebra. Irreducible polynomial is an important class of polynomials. We induce, in this paper, the judgment methods of irreducible polynomials over rational number field, and give some judgment methods of irreducible polynomials such as Eisenstein method, Kr
3、onecker method, Perron method and Browm method. The equivalence and inclusion relations between judgment methods are also investigated. In addition, we give some applications of irreducible polynomials.Key wordsIrreducible polynomial; Judgment method; Application1.引言众所周知，多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项
4、式中重要的概念。但是现行的高等代数课本在多项式部分都讲述了实数域上只有一次和两次的不可约多项式，复数域上只有一次的不可约多项式以及有理数域上存在任意次不可约多项式这么一个事实。但对有理数域上不可约多项式的判定方法, 却只介绍了艾森斯坦(Eisenstein)判别法。人们在对多项式进行研究时, 发现不可约多项式还存在另外的判定方法。而通过学者们的研究发现，判断有理数域上的不可约多项式的问题最终都转化为了整数域上的不可约多项式的问题。对于常用的艾森斯坦判别法，并非总是有效的因为并非总存在满足判别法条件的素数。所以此方法有着一定的局限性。p随着人们研究的深入和发展，更多的判别法不断的产生。本文在现有
5、的不可约多项式的判定方法的基础之上,把有理数域上不可约多项式的判定进行分类。并且研究了不可约多项式的一些实际应用。2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设 P 是一个数域，对于中任意两个多项式与，其 P x( )f x( )g x中，一定有中的多项式，存在，使得( )0g x P x( )q x( )r x( )( ) ( )( )f xq x g xr x成立，其中或者，并且这样的，是唯一( ( )( ( )r xg x ( )0r x ( )q x( )r x决定的。定义 2.1 数域 P 上的多项式称为能整除，如果有数( )g x( )f x域 P 上的多项式使等式( )h x
6、=( )f x( ) ( )g x h x成立，我们用“|”表示整除，用“| ”表示( )g x( )f x( )g x( )f x( )g x( )f x不能整除。( )g x( )f x定理 2.11 对于数域 P 上的任意两个多项式,其中( )f x( )g x,|的充分必要条件是除的余式为零。( )g x0( )g x( )f x( )g x( )f x证明: 如果= 0 那么=,即|。反过来，( )r x( )f x( ) ( )q x g x( )g x( )f x如果|，那么=+0，即= 0。( )g x( )f x( )f x( ) ( )q x g x( ) ( )q x g
7、 x( )r x注 1: 带余除法中必须不为零。( )g x下面介绍整除性的几个常用性质:（1） 如果|,|,那么，其中 为非零常数。( )f x( )g x( )g x( )f x( )( )f xcg xc（2）如果|,|，那么|（整除的传递性）。( )f x( )g x( )g x( )h x( )f x( )h x（3） |,|，那么( )f x( )g x( )f x( )g x1,2,irL|，( )f x1122( )( )( )( )( )( )rru x g xux gxu x gxL其中是数域 P 上任意多项式。1( )iu x2.2 本原多项式若是一个整系数多项式的系数互
8、素， 那么叫做一个( )f x( )f x本原多项式。2.3 有理数域上多项式的等价设有理数域上的一个多项式， 若的系数不全是整数，( )g x( )g x那么以系数分母的一个公倍数乘就得到一个整系数多项式( )g x( )g x。显然，多项式与在有理数域上同时可约或同时不可( )f x( )g x( )f x约。2.4 多项式的不可约相关概念在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数域而言，有例如下把进行分解，可分解为49x 49x 2233x
9、x但这是相对于有理数域而言的，对于实数域来说还可分进一步为429333xxxx而在复数域上，还可以再进一步分解为493333xxixixx由此可见，必须明确系数域后，所谓的不可再分，才有确切的涵义。在下面的讨论中，仍然须选定一个数域 P 作为系数域，数域 P上多项环 P中多项式的因式分解相关的不可约定义如下 x定义 2.4.1 数域 P 上的次数1 的多项式称为域 P 上的不( )p x可约多项式，如果它不能表示成数域 P 上两个次数比的次数低( )p x的多项式的乘积。我们要谈的多项式的不可约性问题的相关事实如下（1）一次多项式总是不可约多项式;（2）一个多项式是否不可约是依赖于系数域的;（
10、3）不可约多项式与任一多项式之间只能是有两种关( )p x( )f x系，或者|( )f x或者，事实上，如果，( )p x( ),( )1p xf x( ),( )p xf x( )d x那么或者是 1，或者是，当= 时，就有( )d x( )(0)cp x c ( )d x( )cp x( )p x|( )f x。12.5 有理数域上不可约多项式的定义 如果是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理( )f x数域上两个次数比它低的多项式的乘积， 则称为有理数域上( )f x的不可约多项式。3. 有理数域上不可约多项式的判定方法3.1 Eisenstein 判别法1在高等代数中，Eis
11、enstein 判别法是最为经典和著名的，也是现行有理数域上不可约多项式判定判定方法中最为实用的。而人们长久以来的研究衍生出了许多不同的方法。3.1.1 直接判别法 2定理 3.1.1 设是一个整系数多项式，其中，0( )n nf xa xa1n 设存在一个素数，使得 不整除，整除（）但不整除ppnapiain2p，那么多项式在有理数域上不可约。0a( )f x3.1.2 间接判别法对于分圆多项式不能直接应用 Eisenstein 判别法，可以做适当的变形之后便可以应用了。在学习的过程中，面对此类问题，因为其系数较高，不能用定义法去判定。我们所学的也只有 Eisenstein 判别法，但不能直
12、接运用。考虑到多项式的等价，对多项式我们可以做适当代换，这样产生了 Eisenstein 判别法的间接判别法。xayb定理 3.1.2 有理系数多项式在有理数域上不可约的充分( )f x必要条件是: 对于任意的有理数和 ，多项式在有理数0a b()f axb域上不可约。例 1 证明在 Q 上不可约。4( )1f xx证明: 4432(1)(1)14642f xxxxxx 取，则不整除 1，整除 4,6,2，不整除 22p pp2p由 Eisenstein 判别法知在 Q 上不可约，因此在 Q 上(1)f x( )f x不可约。3.1.3 其他派生出的判别法这种由 Eisenstein 判别法派
13、生出的方法与 Eisenstein 判别法相类似，能够用来判定 Eisenstein 判别法所不能判定的一类有理数域上的不可约多项式。定理 3.1.3 设是一个整系数多项1 110( )nn nnf xa xaxa xa 式，如果存在一个素数，使整除常数项但整除其他各项系数pp0a且不整除最高次数项系数，那么多项式在有理数上不可约。2p例 2 下列多项式在有理数域上是否可约？； (2) ； (1)21x 4328122xxx63(3)1xx，为奇素数；， 为整数.(4)1pxpxp4(5)41xkxk解: (1) 令，则有1xy22( )(1)(1)122g yf yyyy 取素数=2，由于
14、2| 1,2 | 2,但是22| 2 故由 Eisenstein 判别法可知，p在有理数上不可约，从而=在有理数域上也不可约。( )g y( )f x21x (2) 取素数=2,则 2| 1,2 | -8,2 | 12，但是22| 2 故由 Eisenstein 判别法p可知，该多项式在有理数域上也不可约。(3) 令，代入=,得1xy( )f x631xx65432( )(1)615211893g yf yyyyyyy取素数=3。由于 3| 1,3 | 6,3 | 15,3 | 21,3 | 18,3 | 9,3 | 3，但是p23| 3，故由 Eisenstein 判别法可知，在有理数上不可
15、约，从而( )g y在有理数域上也不可约。( )f x(4) 令,代入=,得1xy( )f x1pxpx1122221( )(1)ppppp ppppg yf yyC yC yCyCp ypL由于是素数，且,，1|+p ppCp ，2|pp，故由p|1,|i ppp C(1,2,2)ipLEisenstein 判别法可知，在有理数上不可约，从而在有理数域( )g y( )f x上也不可约。（5）令，代入 =得1xy( )f x441,xkx432( )(1)46(44)42g yf yyyykyk取素数=2，由于 2| 1，又 2 | 4,2 | 6,2|(4k+4)，2 | (4k+2)，但22| (4k+2)，p故由 Eisenstein 判别法可知，在有理数上不可约，从而在有( )g y( )f x理数域上也不可约。3.2 Kronerker 判别法 2定理 3.2.1 设，这里为有理数域。则在有限步下 ( )f xQ xQ能分解成不可约多项式的乘积。 （只考虑整系数多项式的情形）( )f x例 3 证明在上不可约。5( )1f xxQ证明：取，522s 0121,0,1aaa 则( 1)0,(0)1,(1)2fff( 1)0,(0)1,(1)2fff从而的因子是
