龚升 微积分五讲 龚升

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1、數學傳播30卷1期, pp. 25-35微積分五講一一第一講 回顧中學數學龔昇張德健一. 百年前的一場演講如果用科學發展的角度來看, 毫無疑問的, 二十世紀是結實纍纍, 大有收成的一個世紀, 單就數學的研究而言, 在過去這一百年中可說是突飛猛進!在上一個世紀開始時, 也就是在1900年8月5日, 德國數學家 David Hilbert (18621943) 在巴黎舉行的第二屆國際數學家大會上,以 數學問題 為題目發表了一篇非常著名的演講1, 他在演講的開場白和結論中, 對數學的起源、 意義、 發展過程以及研究方法, 提出了許多精闢的見解, 而演講的主體乃是依據他對十九世紀數學研究的成果和發展的

2、趨勢之心得, 而提出的二十三個數學問題; 這些問題涉及現代數學的大部分重要領域, 一百多年來, 這些問題一直激發著數學家們濃厚的研究興趣, 也帶動了數學研究的方向, 到目前為止, 這二十三個數學問題中已有一半以上被解決, 也在某些問題上取得了重大進展, 但也有些問題仍未得到滿意的答案, 例如 Riemann 猜想和 Goldbach 猜想等。現在回過頭來看 Hilbert 所提出的二十三個問題, 大多數的數學家對 Hilbert 的演講仍給予肯定的評價, 因為這些問題的確對二十世紀數學的發展起了很大作用; 不過也有人提出不同的意見, 例如這些問題並未包含拓樸、 微分幾何等學科, 而這些學科在上

3、一世紀前期科學領域的發展中扮演了重要角色, 此外, 在那些問題中, 除數學物理外很少涉及應用數學等等。 當然,Hilbert 更不會想到在二次世界大戰結束到今天將近六十年裏電腦快速的發展以及其對數學的重大影響! 過去一百年中數學領域的改變, 實在遠遠超出其當初所提的二十三個問題。Hilbert 在 1900 年作他那著名的演講時, 年僅三十八歲, 但卻已是舉世公認與 HenriPoincar e (18541912) 和 Felix Klein (18491925) 並列, 當時數學界的三位領袖之一, 他們對數學的貢獻及其影響, 一方面反映出十九世紀數學的光輝, 另一方面也照耀著二十世紀數25

4、26數學傳播30卷1期 民95年3月學前進的路線。 雖然他的演講已超過一百年, 但其中的一些話, 直到今日仍然適用。 例如在演講的一開始, 他說:我們當中有誰不想揭開未來的帷幕, 看看在今後的世紀裏我們這門科學發展的前景和奧秘呢? 我們下一代的主要數學思潮將會追尋什麼樣的特殊目標? 在廣闊而豐富的數學思想領域中, 新世紀將會帶來什麼樣的新方法和新成果? 他又說:歷史教導我們, 科學的發展具有連續性, 我們知道, 每個時代都有自己的問題, 這些問題後來或者得以解決, 或者因為無所裨益而被拋到一邊並代之以新的問題, 因為一個偉大時代的結束, 不僅促使我們追溯過去, 而且把我們的思想引向未知的將來。

5、二十世紀無疑是一個數學的偉大時代, 我們深信在這一個世紀中將會更加輝煌。 不錯, 每個時代都有自己的問題, 在上一世紀來臨時, Hilbert 提出他認為是屬於那個世紀的二十三個數學問題, 這些問題對於過去一百年的數學發展有其不可磨滅的貢獻, 但上一世紀數學的成就卻遠遠超出他所想像! 那麼, 我們這個新世紀的問題又是什麼呢? 當然, 好些人也東施效顰地提出他們認為是屬於二十一世紀的數學問題, 但往往是仁者見仁, 智者見智, 到目前為止, 所有提出的問題, 還沒有一些像 Hilbert 當年提出的二十三個問題那樣為大家所普遍接受的。 對 Hilbert的二十三個問題, 我們不在這裏詳細介紹, 有

6、興趣的讀者可以參閱李文林2和王懷權3的著作。 雖然一百年過去了, 但今日重讀他的演講, 依然得到許多的啟示, 在 左傳 襄公二十四年裏提到: 太上有立德, 其次有立功, 其次有立言, 雖久不廢, 此之謂不朽。 我們想 Hilbert 在立言方面, 的確做到了藏諸名山, 傳之同好的境界; 在這裏想講的是, 以我們有限的知識與能力,當然沒有辦法將他演說的各部分都作深入的闡述, 這裏我們只是想對他所說的一段話表示一點自己粗淺的體會而已4。從十七世紀六十年代微積分發明以來, 無可否認的, 數學有長足的發展, 不但如此, 數學的分支愈來愈多, 在一百年前, 一些大數學家像Gauss, Riemann,

7、Euler, Weierstrass 等人, 對每一個分支都懂, 並做出許多重要的貢獻, 但後來愈分愈細, 全面懂得各個分支的數學家愈來愈少, 到十九世紀末 Hilbert 演講時已是如此, 所以在他的演講中有這樣的一段話:我們不禁要問, 隨著數學知識的不斷擴展, 個別的研究者想要全盤地了解這些知識的每一個細節, 豈不是變得不可能了嗎? 我想指出的是, 數學中每一步真正的進展都與更有效的工具和更簡潔的方法之發現有關, 這些工具和方法同時有助於理解已有的理論, 並把陳舊、 繁瑣的東西拋到一邊; 這是數學發展的基本特質。 他繼續說:因此, 對於個別的數學工作者來說, 只要掌握了這些有效的工具和簡潔

8、的方法, 他就有可能在數學的各分支中比其他科學更容易找到前進的道路。 有人做過統計, 現代數學已有六十個二級學科, 四百多個三級學科, 所以, Hilbert 上述所說的這一番話更顯得重要; 尤有進者, 他所講的實際上是指數學發展的歷史過程, 而這個過程正是推陳佈新。 用句簡單的話來講, 是“高級”的數學取代“低級”的數學之過程!不但如此, 在數學發展的歷史中, 一些新的有效工具和簡潔方法之發現, 往往也標示著一個或多個新分支的產生, 同時也是一些舊分支的衰退甚至結束。微積分五講27回顧一下我們從小開始學習數學的過程, 正是不斷地重複這個數學發展的過程。 但我們要強調的是在我們學習的過程中,

9、一些數學雖然後來被更有效的工具和更簡潔的方法所產生的新數學所取代, 也就是“低級”的被“高級”的所取代, 但人在學習中, 卻不能只學習“高級”的, 而完全忽略“低級”的! 這是因為人們的智慧隨著年齡而不斷增長, 學習與他的年齡、 智力相當的數學才是最佳選擇, 因為這是一個循序漸進的過程, 沒有將“低級”的數學打好基礎, 很難理解, 也學不好 “高級”的數學。 以下我們從 Hilbert 演講中的這一段精闢的分析來認識我們中小學的數學課程, 不過我們也只是從數學發展的歷史角度來討論這個問題, 這與從教育的角度來考慮問題, 雖有關聯, 卻是不一樣的。二. 算術與代數人類有數字的觀念, 幾乎與人類開

10、始用火一樣古老, 但是數字之出現於文字記載一直遲至公元前三千四百年左右5, 至於數字的四則運算, 則為期更晚; 在我國, 九章算術 是古代數學最重要的著作, 經秦朝到西漢中葉的眾多學者不斷修改、 補充而成的一部學術鉅著, 其成書時間至遲在公元一世紀。 這是一本以問題集形式而寫成的書, 書中共有二百四十六個題目, 分成九章, 其涵蓋面非常的廣, 書中提到分數的四則運算法則、 比例算法、 盈不足術、 三元線性方程組的解法、 正負數、 開方以及一些計算幾何圖形的面積與體積等, 內容十分豐富。 在西方, 大致在相同時間, 這些問題也相繼出現, 而這些內容包括了我們從小學一直到中學所學習的 算術 全部的

11、課程, 換句話說, 人類經過了幾千年才逐漸弄明白的 算術 的內容, 對現在的人來講, 在童年時代花幾年就全部學會了。對於 算術 來講, 真正的發展是由於“更有效的工具和更簡潔的方法之發現”, 這個工具與方法就是“數字符號化”, 從而產生了另一門數學學科: 代數學, 即現在中學課程 代數的內容。 在我國, 這已是宋元時代 (約公元十三世紀五、 六十年代), 在當時的著作中, 有所謂的 天元術 和 四元術, 也就是讓未知數記作 天 元, 後來將兩個、 三個及四個未知數記作 天、地、人、物 等四元, 也就是相當於現在用 x、y、z、w 來代表四個未知數, 有了這些元, 也就可以解一些代數方程式與聯立

12、代數方程組了。 而在西方, 徹底地完成數學符號化是在公元十六世紀。 現在中學課程中的 代數 的內容, 包括解一元二次方程式, 以及解多元聯立方程組等; 當然, 在數字符號化之前, 一元二次方程式的解, 以及多元聯立方程組的解已經出現, 例如我國古代已有一些解一般數字係數的代數方程的 算法程序, 但這些都是用文字表達的, 直到數字符號化之後, 才出現了現在中學代數內容的形式。由數字符號化而產生的中學代數之內容, 的的確確是數學中真正的發展, 代數 正符合了我們前面所提到的“更有效的工具和更簡潔的方法”; 算術 顧名思義可以理解為 計算的技術與方法, 課程名稱取為 算術, 也許是從我國古代的 九章

13、算術 而來, 至於 代數 則可以28數學傳播30卷1期 民95年3月理解為“以符號代替數字”, 也即是數字符號化。 在這裡, 我們要重複說一遍, 儘管中學的 代數比小學的 算術 來的“高級”, 是由於“更有效的工具和更簡潔的方法”, 但並不意味著小學的算術 就可以不必學了。 這裡因為: (1)算術 中的一些內容不能完全被 代數 所代取, 如四則運算等; (2) 即使是能被替代的內容, 適當地學習一些, 有利於對 代數 內容的認識與理解;(3) 從教育學的角度考慮, 這裡有循序漸進的問題, 有學生不同年齡段的接受能力的問題等等。中學 代數 中的一個重要內容是解多元的一次方程組。 在中學 代數 教

14、材中, 一般著重講二元或三元一次聯立方程組, 所用的方法是消元法, 但是, 如果變元為四個或更多時, 就得另想辦法來建立起多元一次方程組的理論。 經過很多年的努力, 向量空間、 線性變換即矩陣的概念產生了, 這不但給出了多元一次聯立方程組的一般理論, 而且由此建立起一門新的學科 線性代數。 這是又一次“數學中真正的進展”。 由於“更有效的工具和更簡潔的方法”, 即向量空間、線性變換及矩陣的概念與方法的建立, 不僅對多元一次聯立代數方程組的理解更為清楚, 更為深刻, 且由於有了統一的處理方法, 可以把個別地處理方程組的方法“拋到一邊”。 當然 線性代數 的產生還有些其他的因素, 但解多元一次聯立

15、代數方程組是 線性代數 最重要, 最生動的模型, 而 線性代數 的產生的確再次印證了 Hilbert 所說的那段話。在中學 代數 中另一重要內容是解一元二次方程組。 在古代, 例如 九章算術 中已有解一般一元二次方程組的算法, 後來有很多的發展, 直到 M. al-Khowarizmi (783-850) 給出了相當於一般形式的一元二次方程組 x2+ px + q = 0 的一般的求根公式為 x = p/2 p(p/2)2q (但不取負根和零根)。 1545年由 G. Cardano (15011576) 公佈了 N. Fontana(14991557)發現的解一元三次方程的解。 而一元四次方

16、程的解是由 L. Ferrari (15221556)所解決。 於是當時大批的數學家致力於更高次方程的求根式解, 即企圖以方程的係數作加減乘除和正整數次方根等運算來將解表示出來。 經過了兩個世紀的努力, 大批的數學家都失敗了,直到1770年, J. L. Lagrange (17361813) 看到了五次及高次方程不可能做到這點。 又過了半個世紀, 1824年 N. H. Abel (18021829) 解決了這個問題, 即對於一般的五次和五次以上的方程求根式解是不可能的。 但什麼樣的代數方程是根式可解, 這個問題被 E. Galois(18111832) 所解決。 他證明了: 方程根式可解若且唯若它的 Galois 群可解, 當然我們在這裡不解釋什麼叫群, 什麼是 Galois 群。 Abel 與 Galois 不僅解決了三百年來無法解決的著名難題, 更重要的是: