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1、万有引力定律是怎样发现的万有引力定律是怎样发现的摘要摘要本文概括了牛顿发现万有引力定律的全过程。从牛顿用几何法证明引力平方反比定律时起，通过发现运动第二定律，证明了万有引力与质量的比例关系之后，才发现的。牛顿从 1665 年至 1685 年，花了整整 20 年的漫长时间，才得出万有引力定律。关键词关键词：艾萨克牛顿 万有引力定律 引力平方反比定律万有引力定律的发现过程从牛顿用几何法证明引力平方反比定律时起，通过发现运动第二定律，证明了万有引力与质量的比例关系之后，才发现的，中间包括地月检验等验证阶段。这个发现过程与哈累的关心、督促和帮助分不开的。哈雷是数学家和著名的天文学家，早年毕业与牛津大学
2、的皇后学院。中学时代就在伦敦研究过磁针变化（1672） 。1675 年从事行星和恒星的精测图表工作。1676 年 11 月至 1678 年 11 月去美国的圣海伦纳（St Helena）,在增补已有的南天星表之后，带回一副完整的星表目录。1679 年当选皇家学会会员。1680 年去巴黎，并在那里遇到卡西尼的天文学家，目睹了 1681 年彗星出现的情况，并进行观测。1684 年初，他根据开普勒第三定律，得出向心力必定与距离的平方成反比。为了从几何上加以证明，他在 1 月的一个星期三，在雷恩的家中与雷恩和胡克聚会。他们讨论了行星运动问题，如分析行星运动为什么必须考虑引力对切向运动的影响和怎样才能得
3、出引力平方反比关系等。这后一个问题在当时他们三个都是了解的。但是，谈到从这个关系怎样才能推导出轨道的形状时，哈雷问胡克，胡克说他能证明，但只有别人都证明不了时他才去做。当时，哈雷说他愿意提供价值 40 先令的一本书作为奖励，奖励在两个月内能得出结果的人，可是却无人能解决这个问题。于是，1684 年 8 月哈雷到剑桥去拜访牛顿。根据史料，当时牛顿说他在 5 年前已经证明了这个问题，但是没有找到这份手稿，在 8-10 月间写出了证明手稿，这就是论运动一文手稿。在这个手稿中，牛顿用几何法和极限概念，证明了椭圆轨道上的引力平方反比定律。论运动论运动一文的手稿一文的手稿根据 IB柯恩的考证，在哈雷第一次
4、访问之后至原理写作之前，共有7 个论运动手稿。其中，三个是与原理直接有关的手稿，四个是与哈雷访问有关的手稿。这四个之中，第一个是 1684 年 11 月有帕格特带给哈雷的手稿，第二个是哈雷第二次（11 月）访问牛顿时看到的手稿，标以严格的论文，论运动 ，第三个是 1685 年 2 月 23 日交给皇家学会备案的手稿，第四个是牛顿自己保存的手稿。除去皇家学会注册的那部分，其它三个在普茨茅斯收藏文集中，存剑桥大学图书馆。与原理有关的三个手稿的题目是论物体在均匀介质中的运动 、 论物体的运动和论运动的第一卷 。这后一个手稿是牛顿在 1684 年 10 月的讲稿，与原理头两卷最接近，IB柯恩认为它可能
5、是写原理的主要依据。发现引力平方反比定律发现引力平方反比定律根据 1684 年 8-10 月间牛顿写的论回转物体的运动一文手稿，牛顿很可能在这个手稿中第一次提出向心力及其定义。从离心力概念向向心力概念转变，是发现引力平方反比定律的重要步骤。他对向心力下的定义是：定义 1 我把将一个物体推或拉向可看作一“力”中心的任一点的力称作向心力。然后，他提出三个定理，并用几何法证明。定理 1 一切绕一“力”心周转的物体，扫过与时间成比例的面积。定理 2 在圆周上匀速回转的物体的向心力，与在同一时间内描绘的圆弧的平方除以圆半径成比例。定理 2 之后有 5 个系，第五个系是：系系 5 如果周期时间的平方与半径
6、的立方成比例，则离心力与半径的平方成反比。注 第五个系适用与天体。周期时间的平方与天体离它们回转所绕的共同中心的距离的立方成比例。天文学家们同意这适用与绕太阳周转的主要行星，但是对于木星和土星不太适用。这些定理、系和注是牛顿在 1679 年之前已经知道并能够证明的。事实上他处理天体问题也是用它们做近似计算的。在定理 3 之后开始证明椭圆轨道上的力学问题。定理 3 如果绕中心 S 周转的物体 P 描出曲线 APQ，如果直线 PR 在某点 P上与曲线相切，如果从曲线 QR 的任一点 Q 做平行与 SP 的切线，并且做垂线QT 至线 SP：我说向心力将与 SP*QT/QRDE 的比值成反比，比值的量
7、只能由P 和 Q 点重合时的极限情况求出。问题 1 如果一物体在一圆周上回转，求趋向圆周内某一点的向心力定律。问题 2 设一物体在古代人的椭圆上回转，求指向椭圆中心的向心力定律。问题 3 设一物体在一椭圆上回转，求指向椭圆的一个焦点的向心力定律。问题 4 设向心力与离中心的距离的平方成反比，则周期时间的平方随横轴的立方而改变。定理 4 就是哈雷要牛顿证明的课题：如果向心力与距离的平方成反比，怎样证明物体运行的轨道是个椭圆。牛顿的证明方法如下：设 AB 是椭圆的横轴，PD 是纵轴，L 是二焦点半径和，S 是焦点之一，假定 PMD 是具有圆心的圆，并画出半径 SP。同时，假定二回转物体描绘出椭圆弧
8、 PQ 和圆弧 PM，向心力指向焦点 S，PR 和 PN 与椭圆和圆在 P 点相切。画QR、MN 与 PS 平行并与切线相交与 R 和 N。但是，图形 PQR、PMN 是无限小，所以（由系至问题 3）我们得出 L*QR=QT和 2SP*MN=MV。因为 SP 是从中心作的共同距离和向心力 MN 与 QR 引起的迳迹变量是相等的（因为同一向心力在同时间内引起的惯性迳迹的变量应相等） 。所以 QT和 MV之比等于L 与 2SP 之比，也就是说面积 SPQ 与面积 SPM 之比等于整个椭圆面积与整个圆面积之比。但是，每一瞬间产生的面积部分之比等于面积 SPQ 和 SPM 之比，因之等于整个面积之比，
9、当乘以一定时数时就等于整个面积之比。所以，在椭圆上绕一圈，可在同一时间内绕直径等于椭圆横轴的圆上一圈。但是（由系 5和定理 2） ，圆周期的平方一直径的立方成比例。因之，在椭圆上也是一样。这样，他就证明了按向心力平方反比定律作用的物体，他描绘的迳迹是椭圆的。接着，他在系中指出用这个方法，可决定地球、火星、木星和土星的轨道，因而解决了过去用圆轨道近似计算木星和土星的引力所带来的明显差误。从上述证明方法可以看出，牛顿用的是几何法和求极限相结合的方法。他证明定理 3 用了开普勒第二定律，证明问题 1、2 和 3 又用了定理 3。问题 2 和3 证明了向心力必然通过椭圆的中心或焦点，从而在推理上为从向
10、心力向重力或万有引力过度扫清了道路。最后，在定理 4 中终于实际上证明了椭圆轨道上的引力平方反比定律。但却是通过开普勒第三定律。所以，可以看出，牛顿在1665-1666 年间只用离心力定律和开普勒第三定律，因而只能证明圆轨道上的而不是椭圆轨道上的引力平方反比关系。在 1679 年，他知道运用开普勒第二定律，但是在证明方法上没有突破，仍停留在 1665-1666 年的水平。只是到了 1684 年1 月，哈雷、雷恩、胡克和牛顿等都能够证明圆轨道上的引力平方反比关系（与牛顿早期证明方法一样） ，都已经知道椭圆轨道上遵守引力平方反比关系，但是最后只有牛顿才根据开普勒三个定律，从离心力定律演化出的向心力
11、定律和数学上的极限概念或微积分概念，才用几何法证明了这个难题。牛顿之所以能完成如此大任，关键在于发现并深刻理解离心力、向心力、重力或万有引力之间的关系，以及数学上的才能。牛顿原理第一卷的命题 VII 至命题 XI 中，把论证圆和椭圆轨道上型心里的性质，分成两步。并且满载命题 XI 中从求证物体沿椭圆轨道运动时趋向焦点的向心力，得出向心力与距离的平方成反比。所以，他在原理中发展了论运动中的方法。关于引力平方反比定律的验证问题，因牛顿在 1684 年才知道皮卡的测定值即一纬度对应的地球表面长度为 69.1 英里，并用以计算地球半径和地月距离，结果是正确的，从而验证了引力平方反比定律。发现万有引力与
12、质量的定量关系发现万有引力与质量的定量关系万有引力与相作用的物体的质量乘积成正比，应是从发现引力平方反比定律过度到发现万有引力定律的不可缺少的必要阶段。从牛顿的科学思想和科学发现的过程来看，运动第二定律是应发现万有引力定律的需要才发现的。牛顿在论运动的手稿之一论物体的运动中，在定义 5：向心力一节内容道：加速力的量是由加速的力乘以同一物体得出来的；重量将永远与物体乘以加速的重力成比例。意思就是作用力可由加速度乘质量求出来的；重力或万有引力与质量乘以重力加速度成比例。发现万有引力定律发现万有引力定律在发现了引力平方反比定律和作用力与质量的定量关系之后，牛顿进入了发现万有引力定律的过程。（1） 向
13、心力定律向万有引力定律的演化牛顿的七个论运动手稿中，既没有把运动三定律作为一个整体或动力学的基本三定律提出，也没有提出万有引力定律。万有引力定律实际上是在原理第一卷才初步提出来的，并在第三卷宇宙的系统中才完成的。这是因为在第一卷的命题 XI 中证明了向心力平方反比定律之后，还必须把这个定律从粒子推广到物体和天体，并且从二物体或天体之间推广到多物体或多天体之间，以及解决以质心或质点取代天体以便将物理问题化为数学问题来处理。从原理第一卷 LXII 和定理 XX 至命题 LXXXIV,牛顿以 49 页的篇幅论证从二粒子之间到二球体之间的向心力平方反比定律的应用。他在自命题 LXXV 定理 XLII
14、至命题 XCVIII 之间，论证两个以上非求体的向心力平方反比定律的问题，其中包括论证粒子系和物体系的重心（质心）取代群体的问题。由物体间的向心力定律推广到天体之间，是在第三卷中运用作用力与反作用力相等（即运动第三定律） ，才实现的。运动第三定律是从各天体之间的相互作用导出万有引力定律的关键性定律，牛顿在原理第三卷的命题 V 和定理 V 的系 1 中以及命题 VII 和定理 VII 中，说明了运动第三定律在天体之间的相互作用的重要作用，某中心天体可与它的几个卫星或行星相互吸引。当然，这个定律也必然适用于各个恒星、行星和卫星等天体之间的错综复杂的吸引关系上。所以，牛顿在抽象地研究两个粒子之间的向
15、心力定律之后，进而将它具体的应用到现实的非常复杂的相互作用上时，必须以运动第三定律为中介，否则发现普遍适用的万有引力定律是不可能的。牛顿从向心力概念明显转到万有引力概念，首先表现在原理第三卷的命题 V 的注释中。（2） 原理中推导万有引力定律的简要过程：牛顿在论运动的几个手稿中，虽然已经将向心力定律用于天体，但是没有严格的证明，更没有把向心力与质量联系起来。从向心力演化出引力，并证明它们与质量和距离的定量关系，首先出现在原理第一卷。在第一卷的命题 LXXVI 和定理 XXXVI 中，牛顿将两个相互作用的球都分成无数的同心球面，证明了从粒子到物体的引力都适用向心力定律。接着，牛顿在这个定理的系
16、2 中，明确得出“在任何不等的距离上，吸引力与吸引的球除以中心距的平方成正比” 。在系 4 中，他又明确指出：在任何不等的距离上，动体的引力或相互趋向的球体重量，与这些乘积成正比，并与中心间的距离的平方成反比。这就是原理万有引力定律的初步或雏形。在原理第三卷的命题 VI 和定理 VI 中，牛顿写道：一切天体以重力吸引每一个行星，并且在离行星中心的等距离上，指向任一行星的物体的重量与它们各自含有的物质之量成比例。这个命题和定理说明了重力；或万有引力与物质之量成正比。在考虑到他在命题 V 和定理 V 的系 2 中：趋向于任一行星的重力的力与离那行星的距离的平方成反比，他就在命题 VII 和定理 VII 的说明中写道：一切行星以重力相互吸引，我们在前面已经证明了，个别论之，也证明了吸引这些行星之一的重力与距行星中心的距离的平方成反比。因此， （由第一卷的命题 LXIX 及其系）可得出趋向于一切行星的重力与他们含有的物质成正比
