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1、要点梳理1.圆的方程 （1）圆的标准方程为 ，其中圆心为 ，半径为r. （2）圆的一般方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)，其中圆心坐标为 ，半径为 .,7.4 直线与圆的综合应用,基础知识 自主学习,(x-a)2+(y-b)2=r2,（a,b）,2.直线与圆的位置关系判断（1）代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来判断.若方程组有两组解，则直线与圆的位置关系为 ；若方程组有一组解，则直线与圆的位置关系为 ；若方程组无实数解，则直线与圆的位置关系为 .（2）几何法：根据圆心到直线的距离d和圆的半径r大小来判断;若dr，则直线与圆的位置关系为 ；若
2、d=r，则直线与圆的位置关系为 ；若dR+r，则两圆 ；若d=R+r，则两圆 ；若d=|R-r|，则两圆 ；若d|R-r|，则两圆 ；若|R-r|dR+r,则两圆 .,相交,相切,相离,相离,外切,内切,内含,相交,基础自测1.直线x+ -2=0被圆（x-1)2+y2=1所截得的线段的长为 .,2.设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点P（3，1），则直线AB的方程是 .解析 已知圆的圆心为C（2，0），所以直线CP的斜率为则直线AB的斜率为-1，所以直线AB的方程为y=-(x-3)+1,即x+y-4=0.,x+y-4=0,【例1】已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25及直线l:（2m
3、+1）x+（m+1）y=7m+4（mR）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l被圆C截得的弦长最短长度及此时的直线方程. （1）问若按常规思路只需圆心C（1，2）到直线l的距离恒小于半径即可，但注意到直线l的方程写成x+y-4+m（2x+y-7）=0后，发现直线l过直线x+y-4=0与直线2x+y-7=0的交点（3，1），若该定点在圆内部，则问题（1）得证.,典型例题 深度剖析,分析,(1)证明 由（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（mR）得：m（2x+y-7）+（x+y-4）=0 2x+y-7=0 x=3 x+y-4=0 y=1直线l恒过定点（3，1）（3-1
4、）2+（1-2）2=50)的点的轨迹，求此曲线方程并说明是什么曲线. 本题是求轨迹方程并探求曲线类型的问题，依据题意，可采用直接法求轨迹方程. 设所求曲线上任一点为P（x，y），由题意得即(m2-1)x2+(m2-1)y2-6m2x+9m2=0当m=1时，x= ，其轨迹为两点的中垂线；,分析,解,【例3】（2010泰州模拟）已知实数x，y满足方程x2+y2-4x+1=0.求 的最大值和最小值，求 y-x 的最小值.解 如下图，方程x2+y2-4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以 为半径的圆.,设 =k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时，直线与圆相切，斜率取得最大、最小值
5、.由 ，解得k2=3.所以kmax= ，kmin= .即 的最大值为 ，最小值为 .（也可由平面几何知识，有OC=2，CP= ，POC=60,直线OP的倾斜角为60,直线OP的倾斜角为120解之.）,跟踪练习3 已知AOB中，|OB|=3，|OA|=4，|AB|=5，点P是AOB内切圆上一点，求以|PA|、|PB|、|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.解 建立如图所示的直角坐标系，使A、B、O三点的坐标分别为A（4，0）、B（0，3）、O（0，0）.设内切圆半径为r，则有2r+|AB|=|OA|+|OB|，得r=1.故内切圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=1，,化简为x2+y
6、2-2x-2y+1=0.设P（x,y），又因为|PA|2+|PB|2+|PO|2=（x-4）2+y2+x2+（y-3）2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25=3（x2+y2-2y）-8x+25=-2x+22因为x0，2，故|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22，最小值为18.因为三个圆的面积之和为 （|PA|2+|PB|2+|PO|2）,因此所求面积的最大值为 ，最小值为 .,方法规律总结1.根据直线与圆的位置关系求弦长，一般不用判别式，而是用圆心到直线的距离与半径大小关系求解.2.要注意数形结合，充分利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于经过切点的半径
7、”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等等，寻找解题途径，减少运算量.3.圆与直线l相切的情形圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.4.圆与直线l相交的情形圆心到l的距离小于半径，过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦.,一、填空题1.（2010无锡模拟）圆心为（1，1）且与直线x+y=4相切的圆的方程是 .解析 r=所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.,(x-1)2+(y-1)2=2,定时检测,2.（2010绍兴调研）将圆x2+y2=1向右平移2个单位，向上平移1个单位后，恰好与直线x-y+b=0相切，则实数b的值为 .解析 平移后
8、，圆的方程为（x-2）2+(y+1)2=1,将y=x+b代入方程，化简得2x2+(2b-2)x+b2+2b+4=0.直线与圆相切，故=0，即(2b-2)2-8(b2+2b+4)=0,解得b=,3.（2010徐州调研）若直线y=x+k与曲线 恰有一个公共点，则k的取值范围是 .解析 的图形为半圆，x2+y2=1(x0)，y=x+k为斜率为1的平行直线系，数形结合可知k= 或k(-1,1.,(-1,1-2,4.（2010河北石家庄一模）已知两点A（-2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2-2x=0上任一点，则ABC面积的最小值是 .解析 圆心（1，0）到直线AB的距离为直线与圆相离，C到直线A
9、B的距离的最小值为ABC面积的最小值是,5.（2010山东泰安模拟）由直线y=x+1上的点向圆x2+y2-6x+8=0引切线，则切线长的最小值为 .解析 方法一 直线y=x+1上点P（x0,y0）到圆心C的距离|PC|与切线长d满足方法二 设圆心C，切点M，则PMC为直角三角形，切线最短等价于|PC|最小，当CP与直线y=x+1垂直时，切线长取最小值,6.（2010江苏泰州调研）一束光线从点A（-1， 1）出发，经x轴反射到圆C：（x-2）2+(y-3)2=1 上的最短路程是 .解析 圆C关于x轴对称的圆C为(x-2)2+(y+3)2=1，过点A与圆C相切的切线长就是最 短路程.切线长d=,7
10、.（2009天津理）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦的长为 ，则a= .解析 x2+y2+2ay=6,x2+y2=4两式相减得y= . y= , x2+y2=4, 解得a=1.,1,联立,8.（2009四川理）若O：x2+y2=5与O1:(x-m)2+y2=20(mR)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 .解析 如图所示，在RtOO1A中，OA= ，O1A= ，OO1=5，AC= ,AB=4.,4,9.（2010广东佛山调研）圆（x-3）2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有 个.解析 因为圆心到直线的
11、距离为又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个.,3,二、解答题10.（2010山东师大附中一模）求圆心在直线x+y=0上，且过两圆x2+y2-2x+10y-24=0,x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.解 方法一 解方程组 x2+y2-2x+10y-24=0 x2+y2+2x+2y-8=0得交点坐标分别为（0，2），（-4，0），因为圆心在直线x+y=0上，故设所求圆心坐标为（a,-a）,则有解得a=-3,r= ,因此所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.,方法二 同方法一得已知两圆的交点坐标为(0,2),(-4,0).设所求圆
12、的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有 4+2E+F=0 D=6 16-4D+F=0 E=-6 ， F=8.因此所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.,解得,11.（2010浙江湖州检测）如图所示，已知圆C1:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0和圆C2：x2+y2+2x+2y-2=0交于A、B两点且这两点平分圆C2的圆周.求圆C1的圆心C1的轨迹方程，并求出当圆C1的半径最小时圆C1的方程.解 圆C1：（x-m）2+（y-n）2=n2+1，圆C2：（x+1）2+（y+1）2=4，而C1C2AB且AB为圆C2直径.,|AC2|= =2，又|AC1|2= 2=1+n2，|AC2
13、|2=4，|C1C2|2=（m+1）2+（n+1）2.（m+1）2=-2（n+2）即为点C1的轨迹方程.又-2（n+2）0，n-2，当n=-2时，m=-1，（ ）min= ，此时圆C1的方程为（x+1）2+(y+2)2=5.,12.（2010苏州模拟）已知M：x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点，QA、QB分别切M于A、B两点. （1）如果|AB|= ，求直线MQ的方程； （2）求证直线AB恒过一个定点. （1）解 设P是AB的中点，由|AB|= ，可得由射影定理，得|MB|2=|MP|MQ|，得|MQ|=3，在RtMOQ中，故Q点的坐标为（ ，0）或（ ，0）所以直线MQ的方程是：,(2)证明 设Q（a,0），由题意知M，A，Q，B四点共圆，直径为MQ，设R（x,y）是该圆上任一点，由 得,x(x-a)+(y-2)y=0.即x2+y2-ax-2y=0. 式与x2+(y-2)2=1联立，消去x2+y2项得两圆公共弦AB的方程为-ax+2y=3.无论a取何值,直线AB恒过点（0, ）.,
