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1、1初中数学初中数学最短路径问题最短路径问题典型题型典型题型知识点：“两点之间线段最短”， “垂线段最短”， “点关于线对称”， “线段的平移”。“饮马问题”， “造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。一、两点在一条直一、两点在一条直线线异异侧侧例：已知：如图，A，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点 P，使得 PA+PB 最小。解：连接 AB,线段 AB 与直线 L 的交点 P ，就是所求。 （根据：两点之间线段最短.
2、）二、二、 两点在一条直两点在一条直线线同同侧侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B 到它的距离之和最短 解：只有 A、C、B 在一直线上时，才能使 AC+BC 最小 作点 A 关于直线“街道”的对称点 A，然后连接 AB，交“街道”于点 C，则点C 就是所求的点 三、一点在两相交直线内部三、一点在两相交直线内部 例：已知：如图 A 是锐角MON 内部任意一点，在MON 的两边 OM，ON 上各取一点 B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点 A 关于 OM，ON 的对称点 A，A；连接 A，A，分别交 OM，ON 于点
3、 B、点 C，则点 B、点 C 即为所求 分析：当 AB、BC 和 AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥 MN，桥造在何处才 能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河 垂直） 解：1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到 E，2.连接 AE 交河对岸与点 M,则点 M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。ABMN E2证明：由平移的性质，得 BNEM 且 BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE, 所以 A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE
4、+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接 AC.CD.DB.CE, 则 AB 两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在ACE 中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即 AC+CD+DB AM+MN+BN 所以桥的位置建在 CD 处，AB 两地的路程最短。例：如图，A、B 是两个蓄水池，都在河流 a 的同侧，为了方便灌溉 作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到 A、B 两地，问该站建在 河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。 作法：作点 B 关于直线 a 的对称点点 C,连接 AC 交直线 a 于点 D，则点 D 为 建抽水站的位置。
5、证明：在直线 a 上另外任取一点 E，连接 AE.CE.BE.BD, 点 B.C 关于直线 a 对称,点 D.E 在直线 a 上，DB=DC,EB=EC,AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC 在ACE 中，AE+ECAC, 即 AE+ECAD+DB 所以抽水站应建在河边的点 D 处，例：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的 AO，BO)，AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上 摆满了糖果，坐在 C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请 你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：1.作点 C 关于直线 OA 的对称点点 D,2. 作点 C 关于直线 OB 的
6、对称点点 E,3.连接 DE 分别交直线 OA.OB 于点 M.N， 则 CM+MN+CN 最短例：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马， 再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路 线。作法：1.作点 C 关于直线 OA 的 对称点点 F,2. 作点 D 关于直线 OB 的对称点点 E,3.连接 EF 分别交直线 OA.OB 于点 G.H， 则 CG+GH+DH 最短四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计 在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。例:一点到圆上
7、的点的最大距离为 9，最短距离为 1，则圆的半径为多少？ （5 或 4）CDABEaAOBEN CMAOBD CHFGE D3四、点四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程 将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的 宽可求出最短路程例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD 是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从 A 点爬行到 C 点，那么，最近的路程长为（ ）A7BCD5分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果 解：将圆柱体展开，连接 A、C，= =4，BC=3，根据两点之
8、间线段最短，AC=5 故选 D五、在长方体（正方体）中，求最短路程五、在长方体（正方体）中，求最短路程 1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程 2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程 3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了然后进行比较大小，即可得到最短路程.例：有一长、宽、高分别是 5cm，4cm，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长 方体的一个顶点 A 处沿长方体的表面爬到长方体上和 A 相对的顶点 B 处，则 需要爬行的最短路径长为（ ） A5cmBcmC4cmD3cm 分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短利用勾股定理求点 A 和 B 点间
9、的线段长， 即可得到蚂蚁爬行的最短距离在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于 长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得 解：因为平面展开图不唯一， 故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线（1）展开前面、右面，由勾股定理得 AB2=（5+4）2+32=90； （2）展开前面、上面，由勾股定理得 AB2=（3+4）2+52=74； （3）展开左面、上面，由勾股定理得 AB2=（3+5）2+42=80； 所以最短路径长为cm 例：如图是一个长 4m，宽 3m，高 2m 的有盖仓库，在其内壁的 A 处（长的 四等分）有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子
10、，则壁虎爬到蚊子 处最短距离为（ ） A4.8BC5D 分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知 解：有两种展开方法： 将长方体展开成如图所示，连接 A、B，根据两点之间线段最短，AB=；4将长方体展开成如图所示，连接 A、B，则 AB=5；所以最短距离 5 例：有一棵 9 米高的大树，树下有一个 1 米高的小孩，如果大树在距地面 4 米处折断（未完 全折断） ，则小孩至少离开大树 米之外才是安全的 分析：根据题意构建直角三角形 ABC，利用勾股定理解答 解：如图，BC 即为大树折断处 4m 减去小孩的高 1m，则BC=41=3m，AB=94=5m，在 RtABC 中，AC=4例：如图，
11、在一个长为 2 米，宽为 1 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽 AD 平行且AD，木块的正视图是边长为 0.2 米的正方形，一只蚂蚁从点 A 处，到达 C 处需要走的最短路程是 米 （精确到 0.01 米）分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答解：由题意可知，将木块展开，相当于是 AB+2 个正方形的宽，长为 2+0.22=2.4 米；宽为 1 米于是最短路径为：=2.60 米例：如图，AB 为O 直径，AB=2，OC 为半径，OCAB,D 为AC 三等分点，点 P 为 OC 上的动点，求 AP+PD 的最小值。分折：作 D 关于 OC 的对称点
12、D，于是有 PA+PDAD,（当且仅当 P 运动到 Po处，等号成立，易求 AD=。3六、在六、在圆锥圆锥中，可将其中，可将其侧侧面展开求出最短路程面展开求出最短路程将将圆锥侧圆锥侧面展开，根据同一平面内的面展开，根据同一平面内的问题问题可求出最可求出最优设计优设计方案方案例：如图，一直圆锥的母线长为 QA=8，底面圆的半径 r=2，若一只小蚂蚁从 A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到 A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是 （结果保留根式）小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长，根据题意可得出：2r=n.OA,/180 则，则 22=，解得：n=90，由勾股定理求得它的弦长
13、AAn81805一、题中出现一个动点。一、题中出现一个动点。当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值.例：如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为 AB 上一定点，且 BE=10,CE=14,P 为 BD 上一动点，求 PE+PC 最小值。分析：作 E 关于 BD 对称点 E，E在 AB 上，有 PE+PC=PE+PCEC 易求 EC=26。二、二、题题中出中出现现两个两个动动点点。当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。例例：如图，在直角坐标系中有四个点, A
14、(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形 ABCD 周长最短时,求 。m n分折:因 AB 长为定值,四边形周长最短时有 BC+CD+DA 最短,作 B 关于 y 轴对称点 B,A 关于 x 轴对称点 A,DA+DC+BC=DA+DC+BCBA(当 D,C 运动到 AB和 x 轴 y 轴的交点时等号成立),易求直线 AB解折式 y= +,C0(0,),D0(-2 3x7 37 3,0),此时=- 7 2m n2 3三、三、题题中出中出现现三个三个动动点点时时。 。在求解时应注意两点： (1)作定点关于动点所在直线的对称点, (2)同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题
15、.例：如图，在菱形 ABCD 中,AB=2,BAD=60,E,F,P 分别为 AB,BC,AC 上动 点,求 PE+PF 最小值6分折:作 E 关于 AC 所直线的对称点 E,于是有, PE+PF=PF+PEEF,又因为 E 在 AB 上运动,故当 EF 和 AD,BC 垂直时，E0F 最短,易求 E0F=。3例：如图，AOB=45，角内有一动点 P ，PO=10，在 AO，BO 上有两动点 Q，R，求PQR 周长的最小值。分折：作 P 关于 OA，OB 对称点 P1，P2 。 于是有 PQ+QR+PR=QP1+QR+RP2P1P2，由对称性易知P1OP2 为等腰 RT,OP=OP1=OP2=10,P1P2= 10 2总之，在这一类动点最值问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。1、运用、运用轴对轴对称解决距离最短称解决距离最短问题问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同注意：注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求 根据轴对称的性质、利用三角形
