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1、和差化积公式在三角函数中的综合运用王永洪 1(北京市海淀区北京理工大学机电学院，100081)和差化积公式与积化和差公式是两角和差三角函数公式基础上利用导出的两组公式，对于和差化积公式，考虑两个同名正弦或余弦三角函数值之和或差，将两个角度表示为两个角度的和与差的形式，然后利用两角和差正余弦三角函数公式展开运算，即可得到两个角度三角值乘积的形式，如 ，cos、 ，将这两个角度关系代入上式，得到22，而积化和差公式推导遵循相反的运算过程。和差化积公式是不宜机械cossini记忆的，也没有这种必要，因为在解题中不断练习公式的推导过程，并在不同的问题中尝试运用公式另辟新解法而对公式运用达到灵巧熟练的地
2、步。从公式的推导过程可见角度恒等式 、2是和差关系向乘积关系转化的关键，只要两角和差正余弦公式能熟练无误地运用，这2两组公式便可以熟练、快速而准确的导出，因此，熟练掌握公式的推导方法比公式结果有更重要的价值。和差化积公式在实际三角函数问题中具有广泛的运用，特别是在三角求值问题中和边角关系复杂的三角形问题中，很多用两角和差三角函数公式无法解决的问题能顺利解决，还能得到更一般的结论，这无疑对探索相关一类问题的一般解法具有重要意义。下面将举例介绍和差化积与积化和差公式在三角求值问题和解斜三角形问题中的综合运用，通过不同问题的求解过程，系统地认识这两组公式在解题中的效用和适用范围。一在三角求值问题中的
3、运用例 1：实数 满足关系： ( 为正数). ()求,xyzsinsincosco0xyazxyaz证： 为定值的充要条件是 . ()设()ta()ttTz 1，求这样的 ，使得 .2,tfz (,)fxyz（）证明：（1）必要性： sinsincocoxyaz (a)b得 ，即 (a)bsintancoxyztt2z2tant()1zxy因此， （1-1）32an()att()1ttaxyxyzz1 作者联系信息：北京市海淀区中关村南大街 5 号北京理工大学机电学院 116 信箱，邮编：100081。E-mail: mt_ .一在三角求值问题中的运用2另外， （1-2）221tan1tanc
4、os()xyzxy得 （1-3）2(a)b 2s()为了书写方便，以下出现 的地方简记为 tanz由（1-2）和（1-3）得与 211cos()4sxy221sin4()asxy以上两式相除，得到 . （1-4）22itancos()sxy联合（1-1）和（1-4）可得（1-5）322(,)t()tant4.1()Tzzxyzss上式为定值，则必等于 0即有243a，则 ，必要性得证；0a1（2）充分性：若 ，由（1-5）知 充分性显然成a(,)tan()tant0Txyzxyzxyz立（）解：记 ， 由（1-3）知 ，即 .2tnz2k20404k设 ， 3(,)()1()tktfxyht2
5、81(2)4()34kttktk 2 2 2251()()31)()thtttk下面首先考虑一系列可能成为 在 的最小值的点：h0,.,1ttt对应的函数值：0(2)4()lim)3()lim()2)(1)34t tk khhhk ， ；分别将以上各式代入不等式 ，解不等式组： 且 且 ，并注意1t01h(，得04k.572k因此， 在函数 定义域中，而 ，解不等式并与上述 的解152tk()ht 21107kh k一在三角求值问题中的运用3集取交集得 ，即 517k517a例 2：设函数 ()解2()sin)cosin()cosin(2)si().3363fxxxx关于 的不等式 . ()2
6、(4f定义在 上的函数 和常数 满足关系式 .试求 一个R)gx(,)2()()4gxfx()gx的解析式和对应的 值.解：（）首先化简 的表达式()f111()sin2cos2)in()sincos(4)33462i(4)ii4,81cos6fxxxxx，即2()4fx，1cos(4)cos462xx， ， ，12sin(4)si12xin2162in()4由三角函数图像知，以上不等式等价于 ，于是原不等式的解17524()2kxkZ为()823kxZ() .2115()sin(4)cos2sin(2)44fx xx即 ()s()i()gx下面说明 的两种不同表达式：()gx（1） ，则 ，
7、于是 或 ；1cos2)45()sin(2)4gxx385（2） ，则 ，于是 或 .5()in(gx 1co例 3：设函数 满足关系式： ，其中 是与 无关的常数，()cos)fx()3()sin26fxfxx且 . cs1（）求 的值. （）解关于 的不等式 .x(2)3fxff一在三角求值问题中的运用4解：设 ，则 ，()sin2)fxsin(2)3sin(2)sin26xxx.3icoi()1按 的两种不同取值分析如下：sin()12（1）若 ，注意 ，得 .3i2sin1546k()Z此时 .sin(2)co()xx即 .553sincos(2)0244x于是 ， ；4()nZ1n(
8、Z（2）若 ，注意 ，则 .此时3sin()12si74)6k.sin()co)2xx即 .553s()sin(2)044x， .42Z(1nZ综合（1） （2）可知 ,可取 .5()1n76待求解不等式为：，即 .7sin(4)sin()si66xx421cos()cos()33xx设 ，不等式化简为： ，解之得 或 .2co3u210u54u4u， ，因此，最后求解不等式：4615s545cos()cs4或 ，223nxn2635mxm即 或 .8()1515Z11()5Z二在解斜三角形问题中的综合运用.例 4： 面积是它周长平方的 ，若 表示它的三个内角, 试求 的值.ABC12ABCc
9、ottcot22ABC解：设三角形的三条对边为 ， ， 由题意得 .abc211()sinabcaC二在解斜三角形问题中的综合运用.5由 得 .:sin:siabcABC 211(sinsin)sinsi2ABCABC由于 iiicoicoco2A4ss.2于是 ，由 得1tant23ABC1tan2tancotABB.cottttcot3222ACC例 5：对于任意三个在 之间的角 ，判断“ ， ,scos4insi12”是“ ”成立的何种条件.sinsin0解：这是一个充要条件，证明如下：必要性显然成立，下面说明充分性。，由 得cos2cos2coscos4insi12，2in()i或 .
10、(cosi)cosin02而cs2in()si();244ocs()cosco. 根据如上的等式关系，显然， 等价于下面条件：in)(sin)022或 或 或(41)(kZ41)mZ(41)(nZ，其中后面三个关系式根据 ， ， 在原等式中位置的轮换对称性不妨设p 为 成立.m若 成立，由 ， ， 可见，当 ， 同时为 0 时，()(),sii，这与 矛盾，于是 ， 不同时为 0，此时， ，而sin0sinsin0sini，这是与条件相矛盾的，因此，()4cos2，后三种角度关系都不成立，只能是 （注意 ， ， 不能同(41)()mZ 时取 值） 。充分性证毕。例 6： 的三边长成等差数列，且
11、最大角与最小角之差为 ，求三角形的三边之比.ABC 10解：设 三对边为 、 、 ，则 .abc()ABC二在解斜三角形问题中的综合运用.6sin2sincos2ACA三边长成等差数列得 ,且 .iiCB3因此 ， 即 2sincos2in()3AAcos1cs241cos34A由于 ，既有0， 15sin34A 153sini38A， ， ， 2ACBicos2C15co24B15sin2icos8B由 得 sinin3in8三边长之比为 AB:s:s15:153abcAB例 7：非直角三角形 中, 为其三个内角，且 ABC, 222sincoscos(),0,432ABCB()求 的大小.
12、 ()若 ，求 的值.11sinisinsi2BC解：()由 ，得225coco()43A1sin()sicos(2)43BAC，i()inC即 ， sin()si3cos()i()03BA因为 是锐角，于是 ， B0A()将 代入题设表达式， 或 .即3sin2A12sini3BC23sinsin0BCB，2sicocos()c()0CC将 代入得 .3B23insi02由上式解得 15sin24例 8：在 中， 对边为 ， ，试求 的值ABC,abc1sinBabsincos24AC二在解斜三角形问题中的综合运用.7解：由 得 ，1sinBcab1siniCA即 ， ，siiAC12cocos()cs()2CA或 .2sins由于 ， ，则 ，于是acAicoco()sin()0242CA.1sins4例 9： 分别是三角形 的三条对边，且 ，试求,abcABC25co84acACb的最大值.136sinsi4A解：由题设条件有 .215sin1co()84AB或 .16si5cos()cs()CAC令 ， ，以上等式写为 ，cosBc()t 216415tt或 ， 或 .()16404tss 4tt由于 ，
