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1、卓卓 育育 文文 化化 教教 育育 机机 构构 2219372022193720 2219431222194312路虽远,行则必至;事虽难,做则必成 1最短距离问题分析最短距离问题分析 最值问题是初中数学的重要内容,也是一类综合性较强的问题,它贯穿初中数学的始终,最值问题是初中数学的重要内容,也是一类综合性较强的问题,它贯穿初中数学的始终, 是中考的热点问题,它主要考察学生对平时所学的内容综合运用,无论是代数问题还是几何问是中考的热点问题,它主要考察学生对平时所学的内容综合运用,无论是代数问题还是几何问 题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段题都有最
2、值问题,在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段 最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等) 。利用一次函数和二。利用一次函数和二 次函数的性质求最值。次函数的性质求最值。 一、一、 “最值最值”问题大都归于两类基本模型:问题大都归于两类基本模型: 、归于函数模型:即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性,确定某范围内函、归于函数模型:即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性,确定某范围内函 数的最大或最小值数的最大或最小值 、归于几何模型,这类模型又分为两种情况
3、:、归于几何模型,这类模型又分为两种情况: (1 1)归于)归于“两点之间的连线中,线段最短两点之间的连线中,线段最短” 。凡属于求。凡属于求“变动的两线段之和的最小值变动的两线段之和的最小值”时,时, 大都应用这一模型。大都应用这一模型。 (2 2)归于)归于“三角形两边之差小于第三边三角形两边之差小于第三边”凡属于求凡属于求“变动的两线段之差的最大值变动的两线段之差的最大值”时,大时,大 都应用这一模型。都应用这一模型。 几何模型:几何模型:条件:如图,条件:如图,、是直线是直线 同旁的两个定点同旁的两个定点ABl 问题:在直线问题:在直线 上确定一点上确定一点,使,使的值最小的值最小lP
4、PAPB 方法:作点方法:作点关于直线关于直线 的对称点的对称点,连结,连结交交 于点于点,AlAA BlP 则则的值最小(不必证明)的值最小(不必证明) PAPBA B 模型应用:模型应用:(1 1)如图)如图 1 1,正方形,正方形的边长为的边长为 2 2,为为的中点,的中点,ABCDEAB 是是上一动点连结上一动点连结,由正方形对称性可知,由正方形对称性可知,PACBD 与与关于直线关于直线对称连结对称连结交交于于,则,则BDACEDACP 的最小值是的最小值是_;PBPE(2 2)如图)如图 2 2,的半径为的半径为 2 2,点,点在在上,上,OABC、O ,是是上一动点,上一动点,O
5、AOB60AOCPOB求求的最小值;的最小值;PAPC解:(解:(1 1)的最小值是的最小值是PBPE5DE (2 2)的最小值是的最小值是PAPC2 3【典型例题分析典型例题分析】1.如图所示,正方形如图所示,正方形的面积为的面积为 12,是等边三角形,点是等边三角形,点在正方形在正方形内,内,ABCDABEEABCD 在对角线在对角线上有一点上有一点,使,使的和最小,则这个最小值为(的和最小,则这个最小值为( ACPPDPE ) A B C3 D2 32 66ADEPBCABAPlABB图 1ABC图 2P卓卓 育育 文文 化化 教教 育育 机机 构构 2219372022193720 2
6、219431222194312路虽远,行则必至;事虽难,做则必成 2第 4 题Oxy BDACP2如图,抛物线如图,抛物线2124yxx 的顶点为的顶点为 A,与,与 y 轴交于点轴交于点 B(1)求点求点 A、点、点 B 的坐标;的坐标; (2)若点若点 P 是是 x 轴上任意一点,求证:轴上任意一点,求证:PA-PBAB; (3)当当 PA-PB 最大时,求点最大时,求点 P 的坐标的坐标.解:解:(1)令令 x=0,得,得 y=2, B(0,2) 22112(2)344yxxx A(-2,3) (2)证明:证明:.当点当点 P 是是 AB 的延长线与的延长线与 x 轴交点时,轴交点时,P
7、A-PB=AB;.当点当点 P 在在 x 轴上又异于轴上又异于 AB 的延长线与的延长线与 x 轴的交点时,轴的交点时, 在点在点 P、A、B 构成的三角形中,构成的三角形中,PA-PBAB. 综合上述:综合上述:PA-PBAB. (3)作直线作直线 AB 交交 x 轴于点轴于点 P 由由(2)可知:当可知:当 PA-PB 最大时,点最大时,点 P 是所求的点是所求的点 作作 AHOP 于于 H BOOP BOP=AHP,且,且BPO=APH BOPAHP AHHP BOOP由由(1)可知:可知:AH=3、OH=2、OB=2 即即 OP=4, P(4,0)32 2OP OP标为标为1 1 2
8、2, PED的周长即是的周长即是102CEDE4.4.一次函数一次函数的图象与的图象与 x x、y y 轴分别交于点轴分别交于点 A A(2 2,0 0) ,B B(0 0,4 4) ykxb(1 1)求该函数的解析式;)求该函数的解析式; (2 2)O O 为坐标原点,设为坐标原点,设 OAOA、ABAB 的中点分别为的中点分别为 C C、D D,P P 为为 OBOB 上一动点,上一动点, 求求 PCPCPDPD 的最小值,并求取得最小值时的最小值,并求取得最小值时 P P 点坐标点坐标 解:(1)将点 A、B 的坐标代入 ykxb 并计算得 k2,b4 解析式为:y2x4; (2)设点
9、C 关于点 O 的对称点为 C,连结 PC、DC,则 PCPCPCPDPCPDCD,即 C、P、D 共线时,PCPD 的最小值是 CD连结 CD,在 RtDCC中,CD2;易得点 P 的坐标为(0,1)22C CCD2(亦可作 RtAOB 关于 y 轴对称的)5.5.已知:抛物线的对称轴为与已知:抛物线的对称轴为与轴交于轴交于两点,与两点,与轴交于点轴交于点其中其中、xAB,yC,3 0A ,(1 1)求这条抛物线的函数表达式)求这条抛物线的函数表达式02C,BOA xyPHBOA xy卓卓 育育 文文 化化 教教 育育 机机 构构 2219372022193720 2219431222194
10、312路虽远,行则必至;事虽难,做则必成 3(2 2)已知在对称轴上存在一点)已知在对称轴上存在一点 P P,使得,使得的周长最小请求出点的周长最小请求出点 P P 的坐标的坐标PBC解:(1)此抛物线的解析式为224233yxx(2)连结、.因为的长度一定,所以周长最小,就是使最小.ACBCBCPBCPCPB 点关于对称轴的对称点是点,与对称轴的交点即为所求的点.BAAC1x P设直线的表达式为ACykxb则解得此直线的表达式为30 2kb b ,2 3 2kb 223yx 把代入得点的坐标为1x 4 3y P413,6.6.如图,抛物线如图,抛物线的顶点的顶点 P P 的坐标为的坐标为,交
11、,交 x x 轴于轴于 A A、B B 两点,交两点,交 y y 轴轴2yaxbxc4 313,于点于点(03)C,(1 1)求抛物线的表达式)求抛物线的表达式 (2 2)把)把ABCABC 绕绕 ABAB 的中点的中点 E E 旋转旋转 180180,得到四边形,得到四边形 ADBCADBC 判断四边形判断四边形 ADBCADBC 的形状,并说明理由的形状,并说明理由 (3 3)试问在线段)试问在线段 ACAC 上是否存在一点上是否存在一点 F F,使得,使得FBDFBD 的周长最小,的周长最小, 若存在,请写出点若存在,请写出点 F F 的坐标;若不存在,请说明理由的坐标;若不存在,请说明
12、理由 解:(1)由题意知解得, 抛物线的解析式为 3 3a 2 3 3b 232 3333yxx(第 24 题图)OACxyBEPDACxyBO5 题图题图ACxyBODOxyBEPACDOxyBEPC P卓卓 育育 文文 化化 教教 育育 机机 构构 2219372022193720 2219431222194312路虽远,行则必至;事虽难,做则必成 4 xyOAFEM AMB33(2)设点 A(,0) ,B(,0) ,则,1x2x232 33033xx解得 OA1,OB3又tanOCB1213xx ,|3|OB OCOCB60,同理可求OCA30ACB90 由旋转性质可知 ACBD,BCA
13、D 四边形 ADBC 是平行四边形 又ACB90四边形 ADBC 是矩形 (3)延长 BC 至 N,使假设存在一点 F,使FBD 的周长最小即CNCB最小FDFBDBDB 固定长只要 FD+FB 最小又CABN FD+FBFD+FN当 N、F、D 在一条直线上时,FD+FB 最小 又C 为 BN 的中点, (即1 2FCACF 为 AC 的中点) 又A(1,0) ,C(0,) 点 F 的坐标为 F(,)31 23 2 存在这样的点 F(,) ,使得FBD 的周长最小 1 23 27.7.如图(如图(1 1) ,抛物线,抛物线和和轴的交点为轴的交点为为为的中点,若有一动点的中点,若有一动点,3518 532xxyyMA,OAP自自点处出发,沿直线运动到点处出发,沿直线运动到轴上的某点(设为点轴上的某点(设为点) ,再沿直线运动到该抛物线对称轴上,再沿直线运动到该抛物线对称轴上MxE 的某点(设为点的某点(设为点) ,最后又沿直线运动到点,最后又沿直线运动到点,求使点,求使点运动的总路程最短的点运动的总路程最短的点,点,点的的FAPEF 坐标,并求出这个最短路程的长。坐标,并求出这个最短路程的长。解:如图(1) ,由题意可得(0,3) ,抛物线的对称点AM)23, 0(为,点关于轴的对称点为,点关于抛物线3xMxM)23, 0(