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1、 圓錐曲線切線的尺規作圖 劉紹正 臺北市立內湖高級中學 一、前言： 討論圓錐曲線時，經常會探討其切線的性質，為了使討論的問題更清楚，常常必須畫圖以利彼此的溝通，但很少考慮如何以尺規精確作圖。進行尺規作圖首先要通澈瞭解主題的相關性質，再依據邏輯的先後順序，依次作圖，其在層次上屬於分析、綜合之上。於此，先給定一圓錐曲線，再以尺規作圖找出中心、對稱軸、焦點、切線等。需用到較為複雜的性質時，則於作圖後加證明；若用到較為明顯的性質時，則僅於作圖後略作說明。 二、拋物線 （一）作拋物線的對稱軸（如圖一） HL1 C A G E V B D I圖一 1.任意作兩平行弦CDAB/。 2.分別取CDAB,之中點
2、，令其為 E、G。 3.作直線 EG，此直線為拋物線的直徑，故直線EG 平行於對稱軸。 4.拋物線上取一點 H，作EGHI ，交拋物線於另一點 I。作HI之中垂線 L1，L1即為對稱軸。 5.L1與拋物線的交點即為頂點，設其為 V。 【原理】拋物線上一組平行弦中點的集合為一射線，此射線稱為拋物線的一個直徑，直徑平行對稱軸。 【證明】 設拋物線為 y2=4cx，一弦AB所在的直線為y=ax+b，a0，則(ax+b)2=4cx， a2x2+(2ab-4c)c+b2=0 ， 設 弦AB的 中 點 為P(X,Y)，由根與係數得 X=22 aabc (*)L 又 P(X,Y)在直線 y=ax+b 上，所
3、以 Y=aX+b，將(*)代入得 Y= ac2， 故直徑方程式為 y= ac2，與拋物線的對稱軸平行。 （二）作拋物線的焦點（如圖二） NL1 KMJFOVL2圖二 1.在拋物線外作直線 L2L1，設垂足為 J。 圓錐曲線切線的尺規作圖 2. 在 直 線L2上 取 兩 點K 、 M ， 使 得JVKMJK=。 3.作直線 MV，交拋物線於另一點 N。 4.作NOL1，且交 L1於點 F，F 即為拋物線的焦點。 【原理】拋物線焦點到頂點的距離為正焦弦長的 41。 【證明】 依作圖VJMVFN，則 :1:2VJ JMVF FN=， Q拋物線焦點至頂點的距離為正焦弦長的41，點 F 為焦點。 （三）
4、作拋物線的準線（如圖三） L1 P FL3 圖三 1.在 L1上取一點 P，使得VFVP =。 2.過點 P 作直線 L3L1，直線 L3即為拋物線的準線。 【說明】拋物線頂點到焦點的距離等於頂點到準線的距離。 （四） 過拋物線上一點作切線 （如圖四） FL1 QL3R L5 圖四 1.設拋物線上一點 Q，作FQ。 2.作直線 QR/L1。 3.作FQR 的平分線 L4。 4.過點 Q 作直線 L5L4，直線 L5即為過點 Q的切線。 【說明】直接運用拋物線的光學性質。 （五）過拋物線外一點作切線（如圖五A） F L1 L3SL6 UT圖五A 1.設拋物線外一點 S，在準線上取兩點 T、U，使
5、得SFSUST=。 2.分別作UFTF,的中垂線 L6、L7，直線 L6、L7即為過點 S 的兩切線。 【原理】利用拋物線的定義，即拋物線上的點到焦點的距離等於到準線的距離，以確定切點在拋物線上，同時利用一線段其中垂線上的點，到此線段兩端點的距離相等之性質，確定切線的位置。 【證明】 （如圖五 B） FL1 L3 S L6 U T R P圖五B （1）先證6L不平行拋物線的對稱軸。設6L/1L，則TF/3L，與 33LFLT且不合。 （2）過點 T 作直線 TP3L且交6L於點 P，PFPTTFL=,6的垂直平分線為Q由拋物線的定義得知，點 P 在拋物線上。 （3）證明6L與拋物線只有一個交點
6、。 設6L與拋物線交於點 P 和點 Q，且QP，作,3LQR 由拋物線之定義得知QFQR=。 QFQTTFL=,6的垂直平分線為Q，則QTQR=，與QRT 為直角不合。 由（1） 、 （2） 、 （3）得知，6L為拋物線的切線。 三、橢圓 （一）作橢圓的中心（如圖六） OACH J EGB DM N I K 圖六 1.任意作兩平行弦CDAB/，分別取其中點E、G。 2.任意作兩平行弦/HIJK HIABJKHI不平行但,/，分別取其中點M、N。 3.作直線EG、MN，設其交於O點，此O點即為橢圓的中心。 【原理】橢圓之一組平行弦之中點所成的集合為一線段，此線段稱為橢圓的一個直徑，直徑必過橢圓的
7、中心。 【證明】 設橢圓為12222 =+by ax，弦AB所在的直線 方程式為y=mx+k， 將y=mx+k代入12222 =+by ax中， 得0)(2)(22222222=+bkamkxaxmab設AB的 中 點 為P(X,Y)， 由 根 與 係 數 得X= 2222bmamka +(*)L 因點P(X,Y)在y=mx+k上，所以 Y=mX+kk=Y-mX代入(*)中，得 2222)( bmamXYmaX+=， 圓錐曲線切線的尺規作圖 化簡成022=+YmaXb， 故直徑之方程式為022=+ymaxb，過橢圓的中心(0,0)。 （二）作橢圓的長軸（如圖七） T XF2 F1 U O L2
8、 V 圖七 1.以中心O為圓心，適當長為半徑作圓，使此圓與橢圓交於四點P、Q、R、S。 2.作PQ的中垂線L1，L1交橢圓於T、U兩點，TU即為長軸。 【說明】若圓心與橢圓的中心重合時，利用圓關於直徑成對稱，且橢圓關於長軸成對稱的性質，圓垂直於弦PQ的直徑可為橢圓的長軸。 （三）作橢圓的短軸、焦點（如圖八） P L1 Q S T U O R 圖八 1.過點O作直線L2，使L1L2，L2交橢圓於兩點V、X，VX即為短軸。 2.以V為圓心，OT為半徑作弧，交橢圓於兩點F1、F2，F1、F2即為橢圓的焦點。 【證明】 由橢圓12222 =+by ax的基本關係式 222cba+=得知， cOFOF=
9、21，故點21,FF為焦點。 （四）過橢圓上一點作切線（如圖九） Y L4 F1 L3 F2 圖九 1.設Y為橢圓上一點，作21,YFYF。 2.作F1YF2的平分線L3。 3.作直線L4L3，L4即為過Y點的切線。 【說明】直接運用橢圓的光學性質。 （五） 過橢圓外一點作切線 （如圖十 A） 圓CP1 L5 F2 L6 P2 Z 圖十A 1.設點Z為橢圓外一點，以距離Z點較遠之焦點F1為圓心，長軸長為半徑作圓C。 2.以Z為圓心，2ZF為半徑作弧，交圓C於兩點P1、P2。 3.作2221,FPFP的中垂線L5、L6，直線L5、L6即為過點Z的切線。 【原理】利用橢圓的定義，即橢圓上的點到兩焦
10、點距離的和等於長軸長，以確定切點在橢圓上，同時利用一線段其中垂線上的點，到此線段兩端點的距離相等之性質，確定切線的位置。 【證明】 （如圖十 B） 圓CP1 L5 F2 L6 P2 Z Q R . 圖十B 設11PF交5L於點Q， 21215QFQPFPL=的中垂線為Q， aFPQPQFQFQF2111121=+=+ 由橢圓之定義得知，點Q在橢圓上。 再證直線5L與橢圓只有一個交點。設直線5L交橢圓於另一點R，RQ， 則aFPRPRFRFRFa22111121=+=+=， 矛盾。即直線5L與橢圓只有一個交點。 由上可知，直線5L為橢圓的切線。 四、雙曲線 （一）作雙曲線的中心（如圖十一） .A
11、CHJ EGOMNB DI K 圖十一 1.任意作兩平行弦CDAB/，分別取其中點E、G。 2.任意作兩平行弦/HIJK，但AB不平行HI，分別取其中點M、N。 3.作直線EG、MN，設其交於O點，此O點即為雙曲線的中心。 【原理】雙曲線上平行弦中點的連線會通過中心。 【證明】 設雙曲線為12222 =by ax， 弦AB所在的直線方程式為y=mx+k， 將y=mx+k代入12222 =by ax中， 得0)(2)(22222222=+bkamkxaxmab 設AB的中點為P(X,Y)， 圓錐曲線切線的尺規作圖 由根與係數得X= 2222mabmka (*)L 因點P(X,Y)在y=mx+k上
12、， 所以Y=mX+kk=Y-mX代入(*)中， 得 2222)( mabmXYmaX=， 化簡成022=YmaXb， 故弦中點所在的直線方程式為 022=ymaxb，過雙曲線的中心(0,0)。 （二）作雙曲線貫軸（如圖十二） . R PU O TS Q L1 圖十二 1.以中心O為圓心，適當長為半徑作圓，使此圓與雙曲線交於四點P、Q、R、S。 2.作PQ的中垂線L1，L1交雙曲線於T、U兩點 ，TU即為貫軸。 【說明】若圓心與雙曲線的中心重合時，利用圓關於直徑成對稱，且雙曲線關於貫軸成對稱的性質，圓垂直於弦PQ的直徑可為雙曲線的貫軸。 （三）作雙曲線的共軛軸（如圖十三） L3 L1 .XV W
13、 YOL2 圖十三 1.以O為圓心，半貫軸長OT為半徑作圓C。 2.過雙曲線上一點V，作VWL1，且交L1於W。 3.過點W作圓C的切線L2。 4.過點O作直線L3L2。 5.過點V作VX/L1且交L3於點X。 6.過點X作XYL1且交L1於點Y。 7.OY長即為共軛軸半長。 【證明】 設點V的坐標為),(，XOY=，則依作圖可知secOWa=由雙曲線的參數式得 知，此時 bOYOYXYbbXY=tan。 （四）作雙曲線的焦點（如圖十四） O. .L4 L5 F1 F2 L1 圖十四 1.以O為中心，分別以貫軸長2OT，共軛軸長2OY為長、寬作矩形。 2.矩形的對角線L4、L5為雙曲線的漸近線
14、。 3.以O為圓心，矩形的對角線半長為半徑作弧，交L於F1、F2兩點，F1、F2即為雙曲線的焦點。 【證明】 由雙曲線的基本關係式 222bac+=得知，cOFOF=21，故點21,FF為雙曲線的焦點。 （五）過雙曲線上一點作切線（如圖十五） L6 F1 F2 Z L1 圖十五 1.設雙曲線上一點Z，作21,ZFZF。 2.作F1ZF2的平分線L6，L6即為過點Z的切線。 【說明】直接運用雙曲線的光學性質。 （六）過雙曲線外一點作切線（如圖十六 A） 1.設P為雙曲線外一點，以距離P較遠的焦點F2為圓心，貫軸長為半徑作圓C。 2.以P為圓心，1PF為半徑作弧，交圓C於P1、P2兩點。 F1 F
15、2 L7 L8 P1 P2 P 圖十六A 3.作1211,FPFP的中垂線L7、L8，直線L7、L8即為過點P之切線。 【原理】利用雙曲線的定義，即雙曲線上的點到兩焦點距離差的絕對值等於貫軸長，以確定切點在雙曲線上，同時利用一線段其中垂線上的點，到此線段兩端點的距離相等之性質，確定切線的位置。 【證明】 （如圖十六 B） L7 L8 F1 F2 P P1 P2 R Q 圖十六B 作直線822LPF交直線於點Q， 圓錐曲線切線的尺規作圖 12128QFQPFPL=的中垂線為Q， aFPQPQFQFQF2222212=，由雙曲線 的定義得知，點Q在雙曲線上。 再證直線8L與雙曲線只有一個交點。設8L與雙曲線交於另一點R，RQ， 則aPFRPRFRFRFa22222212=， 矛盾。即直線8L與雙曲線只有一個交點。 由上可知，直線8L為雙曲線的一切線。 五、結語 上述各項尺規作圖，用到了圓錐曲線的參數式及光學性質等，而光學性質在現在各版本的高中數學教科書中均有述及，於此為避免贅述，對這部分並未詳列。而這些尺規作圖的方法，亦可運用於電腦繪圖上，對觀察圓錐曲線的性質甚有助益。
