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1、玩转内接多边形（四）：登山引理玩转内接多边形（四）：登山引理 一一 个无关的问题个无关的问题在继续探索多边形内接图形问题之前，我们先来看一个看似无关的趣题。 从水平线上的一点起笔，在这条水平线上方随意画一条折线段，最后回到水平 线上（如下图）。把这个折线段想象成一座座山峰。我们以最高峰所在位置为 界把整座山分成左右两部分。现在，假设有一对相恋的登山者，一个站在最左 侧的山脚出（即点 0 处），一个站在最右侧山脚处（即点 0 处）。这两个人 将同时从山脚出发，同时到达山顶，并且保证在此过程中他们俩总处于同一海 拔高度。不管这座山是什么形状，这种浪漫的想法总可以实现吗？注意，在登山的过程中，登山者
2、可以为了照顾对方而走回头路。例如，对 于图中所示的小山，两个人可以按照下列方法实现同步登山。左右两个人的路 线分别为：0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 2 3 4 5 6 5 6 7 8 9 8 9 10 11事实上，不管折线段是什么样，这样的登山方式总是能实现的。就像本 Blog 之前介绍的矩形剖分问题一样，这个问题也有数学归纳证明、构造证明、 图论模型证明等多种证明方式。下面我们给出一个拓扑证明，它是我所见过的 最巧妙的证明方式。以左侧登山者所在位置为横轴，以右侧登山者所在的位置为纵轴。把所有 位于同一高度的点对全部标在平面上，形成连续的曲线。下面我们只需要说明， 这条曲线连通了最左下角的点和最右上角的点。为此，我们只需要说明任意一 条从左上角到右下角的连续曲线必定会和这条曲线相交。而这是显然的，因为 一个人从山顶走到山脚，另一个人从山脚走到山顶，他俩必然会有某一时刻在 同一高度“相遇”。
