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1、1课堂练习 08 上 3 多元函数的极值及其求法 一、无条件极值 1、fx，y=sinx+cosy+cosxy 0x，y2 P116 8.8.4 解：fx= cosxsinxyfy= siny+sinxy cosx=siny 解得驻点：P13，6、P26，3、P34，4 只有 P1上 A= fxx= sinxcosxy|P3=3B= fxyx= cosxy|P3=3/2C= fyy= cosy cosxy|P3=1ACB2= 313/22=33/40，P3极大值点极大值 f3，6=33/2 2、求由 x2y2+z22x+2y4z10 = 0 确定的隐函数 z=zx，y的极值 解： P116 8
2、.8.5 一 2x+2zzx24zx= 0 zx=1x /z2 2y+2zzy2y4zy= 0 zy=1y /z2 驻点1，1 对应 P1，1，6、Q1，1，2A= zxx= z21x zx /z22|P=1/4B= zxyx=1x zx/z22|P=0C= zyy= z21+yzy/z22|P=1/4ACB2= 1/41/4020，A0，在 P 达到极大值 6A= zxx= z21x zx /z22|Q =1/4B= zxyx=1x zx/z22|Q =0C= zyy= z21+yzy/z22|Q=1/4ACB2= 1/41/4020，A0，在 Q 达到极小值2 二 x12y12z22=42
3、 z极大=24=6，z极小=24=2 二、条件极值 1、求 z=x2y2，在条件 xy=1 下的条件极值。 解：一降元法： z=x2(1x)2，zx=2x21x=0，解得 x=1/2，y=1/2zxx=4z极小=(1/2)2(1/2)2=1/2 二升元法： L= x2y2xy1Lx=2x=0Ly=2y=0 解得 x=1/2，y=1/2，=1L=xy1=0z极小=(1/2)2(1/2)2=1/2 2、两条运河垂直相交，一条宽 27 米，另一条宽 64 米，求能从一条运河漂到另一条运河长木的最大长度。 解：2，22226427yxLxy64 27)641 (2764276427222 222 22
4、 xxxxL363627642764646406427)641 ( 2732232222322222 xxxxxxxxxxL48362764y)(12551659644827362222mL3、求 u=xyz 在点 P2，1，1处取得最大方向导数的方向，并求此最大方向导数。 解：u = yzi ixzj jxyk k 设l的方向余弦为cos，cos，cos= a，b，c，条件 a2b2c2=1cbaluP22|L=a2b2ca2b2c21La=12a=0 Lb=22b=0 Lc=22c=0 L= a2b2c21=0解得 a=1/3，b=2/3，c=2/3332232221)|(极大Plu4、在椭球面 2x22y2z2=1 上找一点，使 fx，y，z=x2y2z2在该点延l l=1，1，0的方向导数最大。 解：l le=1/2，1/2，0 cos=1/2，cos=1/2，cos=0)(2coscoscosyxlf lf xf lfL=2xy2x22y2z21Lx=24x=0 解得 P1/2，1/2，0Ly=24y=0 Q1/2，1/2，0Lz=2z=0 2|2|QPlf lfL=2x22y2z21=0 P1/2，1/2，0为所求点。
