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1、淮 海 工 学 院11 - 12 学年 第 2 学期 线性代数 期末试卷（A 卷）答案三题号一二 1 12 23 34 4四五六七总分核分人(填首卷)分值241677778888100得分一、选择题（本大题共 小题，每题 分，共分）83241. 设是矩阵，是矩阵，如果有意义，则是什么矩阵-（ ApsCmnTAB CBD ）() () () ()ApnBpmCsmDms2.设，均为阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是-（ B ABn ）() () A()TTTABABB111()ABAB() () C111()ABB AD()TTTABB A3设行列式，则行列式-（ 4031 111xyz 222
2、 4013 111xyzA ）() ()1 ()2()A2 3BCD8 34. 线性方程组只有零解，则的取值为-（ B 02020axzxayzaxyz a）()() ()()A2a B2a C1a D1a 5.设是阶方阵，则下列结论中错误的是-（ B An0A ）() ()有两行元素成比例A( )R AnBA()的个列向量线性相关()有一个行向量是其余个行向量的线性组合CAnDAn 6.设为的矩阵，非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组为AmnAXb.如果，则有-（ C 0AX mn）()必有无穷多解 ()必有唯一解 AAXbBAXb()必有非零解 ()只有零解C0AX D0AX 7. 已知
3、3 阶矩阵相似于，的特征值为 2、3、4、为 3 阶单位矩阵，则ABAE-（ A BE）()6； ()12； ()24； ()48ABCD8.下列矩阵中，不能与对角阵相似的是- （ A ）()() ()()A201 010 002 B201 021 001 C200 020 101 D210 010 002 二、填空题（本大题共小题，每题分，共分）44161. ,则,.2424,1236ABAB 1632 816 BA00 00 2.若,为 3 阶方阵，且,则= -16 , 1 AB2,2AB2A1TA B3.设矩阵，则矩阵的秩为 2 ，线性方程组101000101000000A A的基础解系
4、中向量个数为 3。AXO4.设是三阶方阵，的特征值为,且，则 1 , 3 AA2,3,248A ( )R A 。 三、计算题（本大题共小题，每题分，共分）47281.计算行列式2345345645675678D 解：-5 分4332 212345 111111111111rrrr rrD -2 分02.100 230 456D 求(1) （2） （3）11213124AAA212223456AAA313233789AAA其中表示中的代数余子式。ijADija解：(1) -2 分1121312418AAAD(2) -2 分2122234560AAA(3) -3 分3132331007892302
5、7789AAA3.设， ，矩阵满足方程，求.112 223 433A 100 211 122B XTAXBX解：，-1分100121 211012 122012TBB -1分1TTAXBXA B,rTA BE X:-2 分1121211003472230120106814433012001234 :-3 分347 6814 234X 4已知阶矩阵的特征值为，矩阵,3A3, 2 , 122BAA(1)求的特征值 （2）能否对角化？若能，写出与其相似的对角阵。BB解：（1）设，则的特征值为，分别为-3 分2( )2f tttB( )f1,0,15（2）因为有 3 个互异的特征值，所以能够对角化-2
6、B 分对其相似的对角阵为-2 分1 0 15 四、计算题（本题 分）8已知向量组1234512025 25118,.03341 36072 求向量组的秩及一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示。 五、证明题（本题 分）8设向量线性无关， 123, 1123,212323,，试证明也线性无关。312334123, 证明：设存在使得123,k k k1122330kkk整理得，-2123112321233(23)(34)()0kkkkkkkkk 分因为向量线性无关123, 所以 （1） ，-2 分1231231232303400kkkkkkkkk 因为，所以（1）方程只有零解-2 分1
7、23 13430 111 即所以，线性无关-2 分1230kkk123, 六、讨论题（本题 分）8问为何值时，线性方程组 1231232 1231-xxxxxxxxx (1) 有唯一解； (2) 无解；（3）有无穷多个解？此时求出通解。解：方程组的系数矩阵的行列式-21111 11A 2(2)(1)A分(1)当时，方程组有唯一解-2 分-12且(2)当时，方程组无解-2 分=2(3)当时，方程组有无穷多解=11111 ,0000 0000A b :通解为-2 分1212111 100 , 010XccC CR 七、计算题（本题 分）8设二次型222 12312312(,)322f xx xaxxxx x的秩为，(1)写出二次型所对应的矩阵，并求参数Aa (2)求一个正交变换把二次型化为标准形。XPY解：（1）-2 分10 110 003a A -1 分( )2,0,1R AAa Q（2）解特征方程,得-2 分0AE1230,2,3分别解方程组 得单位特征向量()0,1,2,3iAXi-2 分12322 22022,022100ppp 因此正交矩阵为，即通过正交变换将二次型变换22022 22022 001P XPY为标准型：-1 分22 2323fyy
