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1、趣题：如何用尺规作图将圆面积趣题：如何用尺规作图将圆面积 N N 等分等分一条直径可以把圆面积二等分。两条互相垂直的直径可以把圆面积四等分。 不过，对于任意的 N，将圆面积等分为 N 个部分并不容易，因为圆周上的 N 等 分点并不总是能用圆规和直尺做出来。1801 年，Gauss 证明了当 n 为 2 的幂和 若干 Fermat 素数的乘积时，正 n 边形可以用尺规作出图来，同时他猜想这也是 必要条件。1837 年，Pierre Wantzel 证明了这个条件的必要性。第一个无法用 尺规完成作图的正多边形是正七边形，也就是说你永远无法仅用直尺和圆规找 出圆周上的七等分点。不过，这并不意味着我们
2、不能将圆面积分成面积相等的七份。事实上，有 一种方法可以将圆分成 N 个面积相等的部分，其中 N 可以为任意正整数。你能 想到这种方法吗？如果我们还要求各部分周长也相等呢？上图就是一种将圆面积等分为七块的示意图。这些同心圆的半径分别为 1/7, 2/7, ., 6/7。注意这些值都是可以用尺规作出来的。注意两直 角边分别为 1 和a 的直角三角形，斜边为a+1。从 a=1 开始出发不断迭代， 我们可以依次作出2、3、4 等值，再利用相似三角形即可完成除法操作。不过，这个分法并不算一个“正统”的分割方法。如果我们要求每个线条 都必需从圆周上出发，并且落脚于圆周上的另一点呢？存在很多等分圆面积的切分方案，但我们却不能用尺规作出来。例如，用 N-1 根平行的直线总能把圆面积等分为 N 份，可惜每根直线的位置在哪里需要 用到微积分计算，其结果是一个超越方程，无法用尺规作图完成。当然，能用 尺规作图完成的分割方法还是有的，不过要想到这种方法并不容易。我们首先 作出直径上的七等分点（注意尺规 N 等分给定线段是可以办到的可以利用 前面的相似三角形做法得到 1/N 的长度），然后像图中那样依次作出 12 个半圆 弧。做一些简单的计算就可以验证，这些半圆弧形成的七个区域的面积确实是 相等的。另外，值得一提的是，这个切分方法还有一个神奇的性质：它的每一部分 的周长都是相等的。
