《高中数学论文解析几何直线方程中四类对称问题及应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学论文解析几何直线方程中四类对称问题及应用（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、四类对称问题及其应用四类对称问题及其应用我们所谓的四类对称问题大致上有以下四种：点关于点对称；点关于线对 称；线关于点对称；线关于线对称。 一、点关于点的对称一、点关于点的对称如果点与关于点 M（a，b）对称，则 M 是线段的中点，P)(00yx ，PPPP( 依据中点坐标公式)特别的)(00yx ，）的对称点，（关于点baMP)2200ybxa，P()(00yx ，关于坐标原点对称P00yx，二、点关于直线对称二、点关于直线对称 求一点P0(x0,y0)关于一条直线Ax+By+C=0的对称点P的坐标的问题。 (1) 直线Ax+By+C=0为特殊直线y=x、y=-x、 x轴、y轴、x=a、y=
2、b时,对称点的坐标分别为P1(y0,x0)、P2(-y0,-x0)、P3(x0,- y0)、P4(-x0,y0)、P5(2a-x0,y0)、P6(x0,2b-y0)。 (2) 直线Ax+By+C=0为一般直线时，可设P1的坐标为(x1，y1)，则PP1的中 点满足直线方程Ax+By+C=0,并且PP1的斜率与直线Ax+By+C=0的斜率之积为-1, 可以得到关于x1、y1的一个二元一次方程组，从而可以解出x1、y1。(3)公式法. 设P1的坐标为(x1，y1)，由公式 2200 012200 01 )(2)(2BACByAxByyBACByAxAxx求出x1、y1的值。 三、直线和直线关于点对
3、称三、直线和直线关于点对称求直线A1x+B1y+C1=0关于点P(x0,y0)对称的直线方程。根据对称性，只需将 直线方程A1x+B1y+C1=0中的x换为2x0-x、y换为2y0-y，即可求出要求直线的方 程。 四、直线关于直线对称四、直线关于直线对称 求一直线A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线方程。 (1) 直线A0x+B0y+C0=0为特殊的直线x轴、y轴、y=x、y=-x时，直线 A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线方程分别为A1x-B1y+C1=0、- A1x+B1y+C1=0、A1y+B1x+C1=0、-A1y-B1x+
4、C1=0。 (2) 直线A0x+B0y+C0=0为一般直线时: 1直线A0x+B0y+C0=0与直线A1x+B1y+C1=0平行时，则只需用两平行直线距离 公式即可求出要求直线。 2若直线A0x+B0y+C0=0与直线A1x+B1y+C1=0相交于一A点时,利用到角公式就 可以求得直线A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线的斜率k,再利用直线的点斜式方程即可求出要求直线的方程。 关于这四类对称的应用常见的有这样几种类型： 一、角平分线问题一、角平分线问题 已知的一顶点A的坐标为(x0,y0),B、C的内角平分线分别为直线ABC A1x+B1y+C1=0与A2x+B2
5、y+C2=0,求边BC所在的直线方程。 根据角平分线的性质，点分别关于B、C的内角平分线分别为直线 A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的对称点P、D均在直线BC上,所以只要分别计算出 P、D的坐标,再由两点式方程即可得BC所在直线方程。 例例 1 1：已知 ABC 的顶点 A（-1，-4） ，内角 B、C 的平分线所在直线分别为 l1：y+1=0，l2：x+y+1=0 ，求 BC 边所在的直线方程。解：解：A 关于 l1：y+1=0 对称点 A1（-1，2），A（-1，-4）关于 l2：x+y+1=0 的对称点 A2（3，0） 。 l1和 l2分别是内角 B、C 的平分线，A1
6、，A2在 BC 上，BC的直线方程由两点式的x+2y-3=0。二、入射光线和反射光线问题二、入射光线和反射光线问题关于过点A(x0,y0),入射光线遇直线A1x+B1y+C1=0的反射光线经过点B(x1,y1), 求反射线所在直线方程的有关问题。根据光学性质，点A关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C在反射光线所在的直线 上.因此,只要求出A点关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C的坐标。这样,就知道了 反射光线BD上两点的坐标,由两点式就得到反射线所在直线方程。 例例 2 2：光线从点M(2，3）射到x轴上一点P(1，0)后被x轴反射，求反射光 线所在的直线的方程. 解：解：设M是M
7、（2，3）关于x轴的对称点，则M的坐标为（2，-3）. 又反射线所在直线就是过点M、P的直线，所以反射线所在的直线方程为，即：xy10212 303 xy三、线段之和最小问题三、线段之和最小问题例例 3 求 y=+的最小值22)3()3(xx22)5() 1(xx原式可转化为点(x,x)到 A（-3，3） ，B（1，5）两点的距离之和. 此题即为直线 y=x 上求一点 P，使 P 与两点 A（-3，3） ，B（1，5）的距离 之和最小，B（1，5）关于 y=x 的对称点 B1（5，1） ，连 AB1交直线 y=x 于点 P，设 P1为 y=x 上不同于 p 的点， 则P1A+P1B=P1A+P1B1AB1=PA+PB，P 为所求，最小值为AB1=222) 13()53(17
