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1、小波分析及其应用 （孙延奎，2005）第 5 章可分离二维小波变换算法实现的问题与讨论孙延奎摘要摘要：总结分析可分离二维小波变换算法实现的细节，澄清一些概念与问题，纠正例 5-2中“转置”的错误，回答读者的问题。教材中三个方向小波的定义：123( , )( ) ( )( , )( ) ( )( , )( ) ( )x yxyx yxyx yxy （5.5） ,11,22,33 , , , , ,( , )jjj jk mj k mk mj k mk mj k m k mk mk mgx yddd经简单计算可得， 1 ,1, ,11 , ,22 , ,33 , ,j k mjk mj k mj
2、k mj k mj k mj k mj k mcfdfdfdf 我们称序列为的（一级）二维小波变换。下面讨论二维小波变换,1,2,3,jjjjc ddd1jc的快速算法。设一维多分辨分析的两尺度方程和小波方程为： jV 2222k kk kthtktgtk其中，为实滤波器，。则类似一维正交多分辨分析的推导，由 kh 11kkkgh 1,11,22,33 1,1, , , , , ,( , )jjjj jk mjk mk mj k mk mj k mk mj k m k mk mk mk mfx ycddd * , , ,*1*1*1*1*1,*,2(2)(2),22(22)2(22)2,(22
3、)(22)lnj k mj k mj k mRRjjjRRjjjRRlnjjj lnRRl nln lcff x yx y dxdyf x yxkym dxdyf x yhxklhymndxdyh hf x yxklymn dxdyh h 21*1*1 2,22,22, ,lkjjj k lm nnml nk lm nl n nl nl nchhchhc *,111 , , ,*1*1*1*1*1,*,2(2)(2),22(22)2(22)2,(22)(22)j k mj k mj k mRRjjjRRjjj lnRRlnjjj lnRRl nldff x yx ydxdyf x yxkym
4、dxdyf x yhxklgymndxdyh gf x yxklymn dxdyh *1*1*1 2,222,22, ,jjj nk lm nlknml nk lm nl n l nl nl ng chgchgc 得二维 Mallat 算法如下（假设是实滤波器）：h（5.6）11 ,22,22, ,111 ,22,22, ,211 ,22,22, ,311 ,22,22, ,jjj k mlknm l nk lm n l n l nl njjj k mlknm l nk lm n l n l nl njjj k mlknm l nk lm n l n l nl njjj k mlknm l n
5、k lm n l n ll nchhchhcdhgchgcdghcghcdggcggc n 重构算法：（5.7）1,1,2,3 ,22,22,22,22, ,jjjjj k mklmn l nklmnl nklmnl nklmnl n l nl nl nl nchhchgdghdggd 评注： 1） 在关履泰 编著“小波方法与应用”中，空间分解表示与我教材中是一致的，但二维可分离小波与的意思正好与我的相反。其与对应我教材中的和。12jj,2jd,1jd经理论分析及试验验证，Matlab 中的用法与关履泰书中的一致。2） 在 Mallat 编著“信号处理的小波导引”中，空间分解表示及二维可分离小
6、波，1，等都与教材中的一致。只是最后对变换的结果的表示略有不同：22,1jd,2jd教材中采用的方法是：,1,2,3jjjjcd dd 而 Mallat 著作中，最后的表示为,2,1,3jjjjcddd 如对下面一幅图像，图 1 教材中的表示如下右图所示，其中左上角表示低频系数，左下表示垂直边缘； 右上角表示水平边缘；右下角表示对角边缘。图 2 而在 Mallat 的著作“信号处理的小波导引”中（图 726）中，各个分辨率下的图像中水 平边缘与竖直边缘的位置正好相反。其中，左上角表示低频系数，左下表示水平细节系数 （水平边缘） ；右上角表示垂直细节系数；右下角表示对角细节系数。可分离双正交基：
7、可将一维双正交小波基推广到的可分离正交小波基。令和是生成22()L R, , %的双正交小波基的两对对偶的尺度函数与小波。则2( )L R123( , )( ) ( )( , )( ) ( )( , )( ) ( )x yxyx yxyx yxy 所定义的，的对偶小波是：123123( , )( ) ( )( , )( ) ( )( , )( ) ( )x yxyx yxyx yxy % %可以证明：和是的双正交 Riesz 基。3123 ,j nj nj nj n Z3123 ,j nj nj nj n Z%22()L R二维可分离小波的频率特性分析：二维可分离小波，在不同的尺度和方向上提取
8、图像细节。即用和计算出12312的小波系数分别在水平和垂直边缘上取得大的值。分别提取图像的水平与垂直特征。小波在角点上产生大的系数，提取对角边缘。具体的，3： 垂直高频，提取水平边缘1： 水平高频，提取垂直边缘2在正频率上，和的能量分别集中在和上。由可分离小波，0,212的表达式可推出：3 123,xyxyxyxyxyxy 因此，在低的水平频率处和高的垂直频率处大；在高的水平频率处xy1,xy x和低的垂直频率处大；而在高的水平频率和垂直频率处y2,xy xy大。可显示出正交小波对应的可分离小波的傅立叶变换图。3,xy 在王大凯，彭进业编著的“小波分析及其在信号处理中的应用” 中，塔式分解写法
9、中低频子带与三个高频子带的位置正好反映它们对频域的内在划分，注意，该书中，12的定义与教材相同。3即2jc,2jd13,1jd,3jd若用 L 表示低通滤波器，用 H 表示高通滤波器，则滤波器 LL,LH,HL 和 HH 构成 4 个具有 不同频率特性和方向特性的滤波器。 LL 用于检索图像中的低频分量，LH 用于检测水平 方向的边缘、细节分量，HL 用于检测垂直方向的边缘、细节分量，HH 用于检测主对角与 副对角方向的分量。 【这里的 LH，意思是先用 L 做行变换，再 H 做列变换。与教材中的意 思相反。 】 可见，采用以下表示,2,1,3jjjjcddd 能够与它们对频域的划分一致。其它
10、著作中有关问题的描述：1. 在杨福生著的“小波变换的工程分析与应用”中（P117） ，三个小波，与123本教材的是一致的。它指出：三个小波，中都至少包含一个带通的或123 x，因此，它们都是带通的，也就是说，这三部分反映的都是高通细节。 y指出，对，先沿方向分别用和作分析，把分成平滑逼近和,f x yx x x,f x y细节这两部分，然后对这两部分再分别用和作类似分析。得到一个平滑逼近与 y y三个细节函数。 注意：该著作中（5.13a）, （5.13b）的写法不够严谨。其中，的含义同本教材中的。 123,jjjjA f DDD,1,2,3,jjjjcddd图 5.4 中的 b,c,d 是否
11、与相对应，没有指出。是对应的。 123,jjjDDD图 5.6 中的位置搞错了。 12,jjDD2) 李弼程等编著的“小波分析及其应用” ，在 P40 页指出：一幅图像可分解为一个低频子图和水平、垂直与对角线 3 个方向的高频子图。但没有对“水平、垂直与jc,1,2,3,jjjddd对角线”做进一步的解释。以下通过例子分析可分离二维小波变换的计算过程，主要用于理解概念。第一种方法，很直观，将可分离二维小波变换看成是：先对各行进行小波变换，然后对各列进行小波变换。反之也可以。例例 5.1一个 2x2 图象的二维 Haar 小波变换。这里采用非标准的 Haar 小波滤波器。162 1010 行小波
12、变换97 100 列小波变换00,10,20,39.53.5 0.53.5cd dd如果按照 Mallat 书中的写法，也可以交换与的位置，将变换结果写成0,1d0,2d00,10,10,39.50.53.53.5cddd先列变换，再行变换，结果相同：162 1010 列小波变换136 34 行小波变换00,10,20,39.53.5 0.53.5cd dd例例 5.2一个 4x4 图像的二维 Haar 小波变换。先行变换，后列变换：这种结果对应下述表示（不够严谨）：00,11,10,20,31,21,3cdddddd 如果按照 Mallat 书中的写法，也可以交换，及，的位置，将变换结果写成
13、0,1d0,2d1,1d1,2d4.31250.56251.510.56251.31250.251.50.51.5011.250.50.751 同理可以验证，先列后行结果相同。第二种方法: 利用（56）进行验证：（56）1 ,22, ,11 ,22, ,21 ,22, ,31 ,22, ,jj k mlknm l n l njj k mlknm l n l njj k mlknm l n l njj k mlknm l n l nchhcdhgcdghcdggc 改写（5-6）中第一个公式：11 22,22, ,1 22,11 22,2 ,11 ,2,jj lknm l nnmlkl n l nnlj m nk ll n nljj m nm nk nk nnnjjj k mkmk mhhchhchhchhchchcD hcc %工程解释：工程解释：对任一固定的列数n，先用与的每个列向量做卷积，进行向下二抽样得h1jc到；然后，用与的每个行向量做卷积，进行向下二抽样得到。1jc%h1jc%jc类似的，1） 对任一固定的列数n，先用与的每个列向量做卷积，进行向下二
