送你三把开山斧

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1、 送你三把开山斧进入高中后，无论是高一新生还是即将面临高考的高三学子，都对数学有着 一份特殊的感情，或许那是一种“爱”与“恨”的交织， “爱”是因为很多学生 从小就喜欢数学，也明白高考中数学的重要性， “恨”是因为有些学生花了相当 多的时间和精力去攻克数学，却总无法看到立竿见影的效果。 在高中，要把数学学好，学得兴趣盎然，学得低负高效，还是需要一些科学的 方法的。下面谈一谈学好高中数学的三把“开山斧” ，期望对同学们有所启发。 首先，学数学要做到“听中疑” 。天一中学的数学教师都有着深厚的教学功底， 善于把“冰冷的美丽”化为“火热的思考” ，同学们在上课时就要紧跟老师的思 维，不仅要听老师是怎

2、么讲的，更要主动地参与到老师的提问中去。只有勤思 多想，带着疑问去学，才能领悟知识的内涵，也才能真正做到听懂。平时常听到学生这么说：“数学难学，上课听懂了，但做题时又不会了。 ” 这种懂而不会的根本原因是对知识缺乏透彻的理解，也就是没有真正弄懂。举例来说，我们知道并集这个概念，在很多的问题中都要使用到并集符号 “” ，但也有学生错用、滥用这个符号。例如，写出函数 f(x)=1x 的单调区间。 若答为“函数的递减区间为(,0)(0,+)” ，那么就答错了。因为两个区间 之间用符号“”连接后，表示一个新的集合，如果取该新集合中的 x1=1，x2=1，则 x1x2，但 f(x1)f(x2)，与单调递

3、减的概念矛盾。因此，正 确的解答为“函数的递减区间为(,0)和(0,+)” ，表明函数 f(x)=1x 分别在区 间(,0)和(0,+)上单调递减。用这个道理同样可以解释必修 4 教科书上说明 正切函数 f(x)=tanx 的单调区间的时候，没有说明它在定义域上是单调增函数， 而是在每个整数 k 对应的区间上是单调增函数。弄明白了这个道理，同学们今 后会更加清楚应该如何来表示函数的单调区间。其次，学数学要做到“解中思” 。高中数学的学习离不开解题，但不同的学 生拥有不同的解题素养。有的同学做完就 OK 了，有的同学边做边思考这道题 目应当如何切入，还有的同学做完后发现这道题跟前两天的某道题是类

4、似的， 并还能归纳解法的共性，等等。数学解题是需要智慧的，有位名师归纳出解题的四重境界：第一重境界：正确解题。很多同学套用课堂例题的解法，依葫芦画瓢，答案 做对就行了，其实这只是最低境界。第二重境界：一题多解。也就是不满足于用一种做法和思路解题，一道题 目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单。第三重境界：多题一解。完成一道题目的分析和解答后，尝试推而广之， 从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目，注重题型与解法的总结。第四重境界：发现定理。到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理， 这些结论和定理都是解题的有用工具。数学解题高手都具备这样的一种创新意 识。最后，学数学要做到“订中

5、悟” 。同学们在作业和考试时难免会出现解错题 目的情况，有的同学不敢正视这些错题，其实错题恰恰是同学们在学习过程中 的惜错如金的成长财富。看似简单的概念，在用起来时总会出现这样那样的错误，这时同学们就要及时反思出错的原因，认真订正，避免下次再错。纠错是 同学们在学习过程中进行自我完善和自我反馈的过程，利用已学的知识和解题 方法进行自我调整，使学习过程中的错误、疑惑得到解决，从而加深理解并真 正掌握数学知识。下面例举一个经典的易错题：若 3sin2+2sin22sin=0，求cos2+cos2 的取值范围。不少同学是这样解的：由条件得 sin2=12(2sin3sin2)，在代入目标式得cos2

6、+cos2=2sin2sin2=12(sin1)2+32，又因为1sin1，得到 cos2+cos232，72。 这个解法错在哪里呢？错就错在没有深入挖掘隐含条件，解题过程中的 sin2 应满足 0sin21，即 012(2sin3sin2)1，再结合1sin1， 得到 0sin23。于是得出正解 cos2+cos2149，2。同学们在学习数学的过程中会有这种感悟，即数学本质上是一种思维方式， 它严谨简约而且富于理性，貌似枯燥却不乏美妙，正因如此，人们称之为“思 维的体操” 。著名的角谷猜想是体现数字美妙的典型例子，它看似简单却让数学 爱好者百思不得其解。二次世界大战前后，美国的一个叫叙古拉的

7、地方流传一 种数学游戏，后被日本数学家角谷静夫带回日本。游戏是这样的：任给一个正 整数，若它是偶数则将它除以 2；若它是奇数，则将它乘以 3 后再加 1，如 此下去，经过有限步骤后，它的结果必为 1。有人用电子计算机对小于 71011 的自然数进行验算，结果无一例外。这个貌似简单的游戏至今未能被人们证明。对于高中的数学学习，同学们不仅要掌握基本概念、基本知识、基本题型， 更要从中感悟深刻的数学思想，如数与形相结合的思想，函数与方程的思想， 分类与整合的思想，等等。这些数学思想方法对于指导你们学好数学是大有帮 助的。亲爱的同学们，带上这三把学好数学的开山斧，继续踏上数学学习的征程吧。生涯指导）年

8、轻，真好江苏省天一中学数学组特级教师 何志奇广东一名 90 年才出生的普通本科生王骁威运用较为基础的数学理论破解了 国际数论学界的一个数论猜想，他研究的问题来自于加拿大数学家RichardKGuy 著作数论中未解决的问题中的“仅用 1 表示数中素数猜想” 。他成功发现了这个猜想的一个反例。而在 2010 年，位于长沙的中南大学大三学 生刘路以一个否定式回答解决了数理逻辑中有名的“西塔潘猜想” 。我想说，年轻，真好。因为数学家通常在 20 多岁之前就已经做出了他一生最重要的工作。例如： 群论奠基人、法国数学家伽罗华虽然活了 21 岁，但是留给世界的数学财富与日 月同辉；挪威数学家阿贝尔开辟“椭圆

9、函数”这个重大领域的时候，也才二十 四五岁，他留给世界的阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿 贝尔极限定理、阿贝尔可和性等等概念和定理与山河同存；对数学分析和微分 几何做出了极为重要的贡献、影响了 19 世纪后半期的数学发展的德国数学家黎 曼，也是在 25 岁至 31 岁之间，完成了柯西-黎曼方程、黎曼映射定理等核心成 就，其间他开创的黎曼几何还为爱因斯坦广义相对论的发展铺平了道路；作为 人类历史上最重要的数学家之一的德国人 1777 年出生的高斯，年仅 24 岁时就 发表了划时代的数学史上不可多得的经典著作之一的算术研究 ，这本书奠定 了近代数论的基础。俄国天才数学家罗巴切夫斯基

10、在 23 岁的时候想到了大胆的 想法，在经过八年的构想之后终于写成了虚几何学一稿，在手稿中，罗巴 切夫斯基用另一条平行公理：“过已知直线外一点，至少可作两条直线与已知 直线平行”去替代欧氏几何的平行公理，建立起一个与欧几里得同样严谨的新 几何体系。人们为了纪念他，特意把 1826 年 2 月 11 日认定为非欧几何诞生 日据统计学统计，至少在二百多年前，数学天才成名成家可以年轻，非常年 轻。数学家在年轻时完成其一生中最重要的工作，做出一生中最重要的贡献。 著名的数学大奖“菲尔茨奖”也只颁给 40 岁以下的数学家，它是我们数学界的 “诺贝尔奖” 。有些问题当然也不是绝对的，如美国普林斯顿大学数学教授安德 鲁怀尔斯用长达 130 页的手稿解决了著名的费马大定理的证明花了整整八年， 如果从他逼近这个问题伊始，即对椭圆曲线的研究开始计算，他到达终点，整 整花了二十年。年轻就像一块冲浪板，永远搏击在数学的风浪之上，挑战数学极限!年轻人 从不孤芳自赏，自命清高；年轻人总是充满斗志，充满挑战，有执着的追求精 神；年轻人，珍惜现在，打好基础，路在脚下，志在心中，扬帆出海，乘风破 浪，必将驶向那辉煌之港。