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1、1英中高二物理英中高二物理有界磁场问题分类点拨有界磁场问题分类点拨一、带电粒子在圆形磁场中的运动一、带电粒子在圆形磁场中的运动例例1、圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图所示，求OP的长度和电子通过磁场所用的时间解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O，半径为R。圆弧段轨迹AB所对的圆心角为，电子越出磁场后做速率仍为v的匀速直线运动， 如图所示，连结OB，OAOOBO，又OAOA，故OBO
2、B，由于原有BPOB，可见O、B、P在同一直线上，且OOP=AOB=，在直角三角形P中，OP=(L+r)tan，而，,所以求得R后就可以求出O )2(tan1)2tan(2 tan 2 Rr)2tan(P了，电子经过磁场的时间可用t=来求得。VR VAB由得R=RVmBeV2 tan)(.rLOPeBmV，mVeBr Rr)2tan(2222222)2(tan1)2tan(2 tanrBeVmeBrmV ，22222,)(2tan)(rBeVmeBrmVrLrLPO)2arctan(22222rBeVmeBrmV )2arctan(22222rBeVmeBrmV eBm VRt例例2 2、如图
3、2，半径为的匀强磁场区域边界跟轴相切于坐标原点O，磁感强度cmr10y，方向垂直纸面向里在O处有一放射源S，可向纸面各个方向射出速度为TB332. 0的粒子已知粒子质量，电量smv/102 . 36kgm271064. 6，试画出粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出Cq19102 . 3粒子通过磁场空间的最大偏角解析：解析：设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为，由 得RRvmBqv2 MNO,LAO图1P图2xoy s MNO,LAO图2R/2/2BPO/2cmmmBqmvR2020. 0102 . 3332. 0102 . 31064. 619627 虽然粒子进入磁场的速度方向不确定，但
4、粒子进场点是确定的，因此粒子作圆周运动的圆心必落在以O为圆心，半径的圆周上，如图中虚线cmR20由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角在半径一定R的条件下，为使粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长该弦是偏转轨道圆的弦，同时也是圆形磁场的弦显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径即粒子应从磁场圆直径的A端射出如图，作出磁偏转角及对应轨道圆心，据几何关系得O，得，即粒子穿过磁场空间的最大偏转角为21 2sinRr060060二、带电粒子在半无界磁场中的运动二、带电粒子在半无界磁场中的运动例例3、（1999年高考试题）如图3中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线,在平面右侧的半空
5、间存在一磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场是上的一点，从点可以向磁场区域发射电荷量为q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的点相遇，到点的距离为，不计重力和粒子间的相互作用(1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径(2)求这两个粒子从点射入磁场的时间间隔解析：(1) 粒子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下,做匀速圆周运动.设圆半径为,则据牛顿第二定律可得：,解得RvmBqv2 BqmvR (2)如图所示，以OP为弦的可以画出两个半径相同的圆，分别表示在点相遇的两个粒子的轨道，圆心分别为O1和O2，在O处两个圆
6、的切线分别表示两个粒子的射入方向，它们之间的夹角为，由几何关系知PO1Q1=PO2Q2=从O点射入到相遇，粒子在的路径为半个圆周加弧长等于R；粒子在的路径为半PQ1个圆周减弧长等于RPQ2粒子的运动时间 t1=T 21 vR粒子的运动时间 t=T21 vR两个粒子射入的时间间隔tt1t2vROMN PQ1Q2O1O2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .图3图2xoys oA3图5 dLv由几何关系得Rcos=L，解得：=2arccos2121op21RL 2故tarc cosBqm4 mvLBq 2例例4 4
7、、如图4所示，在真空中坐标平面的区域内，有磁感强度的匀强xoy0xTB2100 . 1磁场，方向与平面垂直，在轴上的点，有一放射源，在平面内向各个方向发射xoyx)0 ,10(pxoy速率的带正电的粒子，粒子的质量为smv/100 . 14，电量为，求带电粒子能打到kgm25106 . 1Cq18106 . 1y轴上的范围解析：解析：带电粒子在磁场中运动时有，则RvmBqv2 cmmBqmvR101 . 0106 . 1100 . 1100 . 1106 . 1182425 如图所示，当带电粒子打到轴上方的A点与P连线正好为y其圆轨迹的直径时，A点既为粒子能打到轴上方的最高点因y，cmROp1
8、0cmRAP202则cmOPAPOA31022当带电粒子的圆轨迹正好与轴下方相切于点时，点既为粒y子能打到轴下方的最低点，易得ycmROB10综上，带电粒子能打到轴上的范围为：ycmycm31010三、带电粒子在长方形磁场中的运动三、带电粒子在长方形磁场中的运动例例5、如图5，长为间距为的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场Ld，磁感强度为，两板不带电，现有质量为，电量为的带正电粒子（重力不计）Bmq，从左侧两极板的中心处以不同速率水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒v子速率应满足什么条件v解析：解析：如图，设粒子以速率运动时，粒子正好打在左极板边缘（图中1v轨迹），则其圆轨迹半径为，又由得
9、，41dR 12 1 1RvmBqv mBqdv41则粒子入射速率小于时可不打在板上1v设粒子以速率运动时，粒子正好打在右极板边缘（图中轨迹2v），由图可得，则其圆轨迹半径为2 222 2)2(dRLRddLR44222图4ocmx/cmy/p 图15cmx/cmy/p BAo图 dL1v 2R1o2o212v4llr1OV+qV图6，又由得，则粒子入射速率大于时可不打在板上22 2 2RvmBqv mddLBqv4)4(2222v综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足：或mBqdv4mddLBqv4)4(22例例6、长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为B，板间
10、距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是：A使粒子的速度V5BqL/4m；C使粒子的速度VBqL/m；D使粒子速度BqL/4m5BqL/4m时粒子能从右边穿出。粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O点，有r2L/4，又由r2mV2/Bq=L/4得V2BqL/4mV2BqL/4m时粒子能从左边穿出。综上可得正确答案是A、B。四、带电粒子在四、带电粒子在“三角形磁场区域三角形磁场区域”中的运动中的运动例例7、在边长为的内存在垂直纸面向里的磁感强度为a2ABCB的匀强磁场，有一带正电，质量
11、为的粒子从距点的点垂直qma3方向进入磁场，如图所示，若粒子能从间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从间什么范围内射出解析：解析：如图所示，设粒子速率为时，其圆轨迹正好与边相1v切于点由图知，在中，由EAO111REO113RaAO AOEO11030cos得，解得，则11 323RaRaR)32(31aRaAOAE)332(23 211又由得，则要粒子12 1 1RvmBqv maqB mBqRv)32(31 1能从间离开磁场，其速率应大于1v图7DAB C图6DAB CE1v1o1R图7FAB C G2oD2v2R5如图所示，设粒子速率为时，其圆轨迹正好与边相切于点，与相交于点2v易
12、知点即为粒子轨迹的圆心，则aAGADR32又由得，则要粒子能从间离开磁场，其速率应小于等于22 2 2RvmBqv maqBv322v综上，要粒子能从间离开磁场，粒子速率应满足maqBvmaqB3)32(3粒子从距点的间射出aa3)332(EG五、带电粒子在五、带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域宽度一定的无限长磁场区域”中的运动中的运动例例8 8、如图11所示，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为，A板md2100 . 1中央有一电子源P，在纸面内能向各个方向发射速度在范围内的电子，为P点sm/102 . 307正上方B板上的一点，若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度，已知电子的质量T
13、B3101 . 9，电子电量，不计电子的重力和电子间相互作用力，且电子打kgm31101 . 9Ce19106 . 1到板上均被吸收，并转移到大地求：（1）沿P方向射出的电子击中A、B两板上的范围（）若从点发出的粒子能恰好击中点，则电子的发射方向（用图中角表示）与电子速度的大小之间应满足的关系及各自相应的取值范v围解析：解析：如图所示，沿方向射出的电子最大轨迹半径由可得，代入数据解得rvmBev2 Bemvrm mdmrm21022该电子运动轨迹圆心在板上处，恰能击中板处随着电子速度的减少，电子轨迹半径也逐渐减小击中板的电子与点最远处相切于点，此时电子的轨迹半径为，并恰能落在板上处所以d电子能
14、击中板区域和板区域在中，有，dddMFHMFH3)2(2222，smdPFQM/1068. 2)32(3，mdQN2101mdPH21022电子能击中板点右侧与点相距的范围电子能击中板mm231011068. 2点右侧与点相距的范围m21020（）如图所示，要使点发出的电子能击中点，则有，Bemvr 2sindr解得6108sinv图8ABQP ABQPNMHFd图12图13ABQP rvo6取最大速度时，有，vsm/102 . 3741sin；取最小速度时有，41arcsinminv2maxsmv/1086 min所以电子速度与之间应满足，且6108sinv，2,41arcsin/102 . 3 ,/10876smsmv六、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动六、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动例例9、如图9所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场左
