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1、第 1 页 共 13 页数列求和的基本方法和技巧数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： dnnnaaanSn n2) 1( 2)(112、等比数列求和公式： ) 1(11)1 () 1(111qqqaa qqaqna
2、 Snn n3、 4、) 1(211nnkSnkn) 12)(1(6112nnnkSnkn5、213)1(21nnkSnkn例例1 已知，求的前 n 项和.3log1log23x nxxxx32解：由212loglog3log1log33 23xxx由等比数列求和公式得 （利用常用公式）n nxxxxS 321xxxn 1)1 (211)211 (21nn21例例2 设 Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.1)32()(nn SnSnf解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）) 1(21nnSn)2)(1(21nnSn第 2 页 共 13 页 1)32()(nn SnSnf64342
3、nnnnn6434150)8(12nn501 当 ，即 n8 时，88n501)(maxnf二、错位相减法求和二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前 n 项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例例3 求和：132) 12(7531 n nxnxxxS解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积1) 12(nxn1nx设. （设制错位）n nxnxxxxxS) 12(7531432 得 （错位相nn nxnxxxxxSx) 12(222221)1 (1432 减）再利用等比数列的求和公式得：
4、nnnxnxxxSx) 12(1121)1 (1 21)1 ()1 () 12() 12( xxxnxnSnnn例例4 求数列前 n 项的和. ,22,26,24,2232nn解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积nn 22n21设nnnS22 26 24 2232 （设制错位）143222 26 24 22 21 nnnS第 3 页 共 13 页得 （错位相减）143222 22 22 22 22 22)211 ( nnnnS 1122 212nnn1224nnnS三、反序相加法求和三、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排
5、列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个.)(1naa 例例5 求证：nn nnnnnCnCCC2) 1() 12(53210 证明： 设. n nnnnnCnCCCS) 12(53210 把式右边倒转过来得（反序）0113) 12() 12(nnn nn nnCCCnCnS 又由可得mn nm nCC. n nn nnnnCCCnCnS 1103) 12() 12(+得 （反序相加）nn nn nnnnnCCCCnS2) 1(2)(22(2110 n nnS2) 1(例例6 求的值ooooo89sin88sin3sin2sin1sin22222 解：设. ooooo89sin88
6、sin3sin2sin1sin22222 S将式右边反序得. （反序）ooooo1sin2sin3sin88sin89sin22222 S又因为 1cossin),90cos(sin22xxxxo+得 （反序相加）89 )89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222oooooo S S44.5四、分组法求和四、分组法求和第 4 页 共 13 页有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例例7 求数列的前 n 项和：，231, 71, 41, 1112 naaan解：设)231
7、()71()41() 11 (12 naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得（分组）)23741 ()1111 (12 naaaSnn当 a1 时， （分组求和）2) 13(nnnSn2) 13(nn 当时，1a2) 13( 1111nnaaSnn 2) 13( 11nn aaan例例8 求数列n(n+1)(2n+1)的前 n 项和.解：设kkkkkkak2332) 12)(1( nknkkkS1) 12)(1()32(231kkknk 将其每一项拆开再重新组合得 Sn （分组）kkknknknk 1213132 )21 ()21 (3)21 (2222333nnn （分组求和）2) 1( 2
8、) 12)(1( 2) 1(22nnnnnnn2)2() 1(2nnn五、裂项法求和五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：第 5 页 共 13 页（1） （2）)() 1(nfnfanoo ooo nnnntan) 1tan() 1cos(cos1sin（3） （4）111 ) 1(1 nnnnan)121 121(211) 12)(12()2(2nnnnnan（5）)2)(1(1 ) 1(121 )2)(1(1 nnnnnnnan(6) nnnnnnnnSn
9、nnnnn nnna2) 1(11,2) 1(1 21 21 ) 1() 1(2 21 ) 1(21则例例9 求数列的前 n 项和. ,11,321,211nn解：设 （裂项）nnnnan111则 （裂项求和）11321211 nnSn)1()23()12(nn 11n例例10 在数列an中，又，求数列bn的前 n 项的112 11 nn nnan12nnnaab和.解： 2112 11n nn nnan （裂项）)111(821 22 nnnnbn 数列bn的前 n 项和（裂项求和）)111()41 31()31 21()211(8 nnSn )111 (8n18 nn第 6 页 共 13
10、页例例11 求证：oooooooo1sin1cos 89cos88cos1 2cos1cos1 1cos0cos12 解：设oooooo89cos88cos1 2cos1cos1 1cos0cos1 S （裂项）oo ooo nnnntan) 1tan() 1cos(cos1sin （裂项求和）oooooo89cos88cos1 2cos1cos1 1cos0cos1 S88tan89tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1(tan1sin1oooooooo o)0tan89(tan1sin1oo oo o1cot1sin1oo1sin1cos2 原等式成立六、合并法求和六、
11、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例例12 求 cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设 Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性质项）)180cos(cosooonnSn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+ +（cos89+ cos91）+ cos90 （合并求和） 0例例13 数列an：，求 S2002.nnnaaaaaa12321, 2, 3, 1解：设 S20022002321aaaa 由可得nnnaaaaaa12321, 2, 3, 1, 2, 3, 1654aaa, 2, 3, 1, 2, 3, 1121110987aaaaaa第 7 页 共 13 页2, 3, 1, 2, 3, 1665646362616kkkkkkaaaaaa （找特殊性质项）0665646362616kkkkkkaaaaaa S2002 （合并求和）2002321aaaa )()()(66261612876321 kkkaaaaaaaaaa2002200120001
