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1、初等数学初等数学：第一章 函数与极限第一节 映射与函数一、集合二、映射三、函数第一章 函数与极限第一节 映射与函数一、集合二、映射三、函数函数关系函数关系：极限方法极限方法：不变量；高等数学不变量；高等数学：变量变量之间的依赖关系变量变量之间的依赖关系；研究变量的基本方法研究变量的基本方法；第一节映射与函数第一节映射与函数一、1.集合:一、1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.,21naaaA PMx x所具有的某种特征所具有的某种特征有限集; 无限集有限集; 无限集aM Ma列举法描述法数
2、集集合的分类列举法描述法数集集合的分类: :集合的描述集合的描述: :,数的扩展数的扩展第一节映射与函数第一节映射与函数一、1.集合:一、1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素元素. 数集的分类：数集的分类：210x 自然数整数实数 复数自然数整数实数 复数0负整数负整数 分数分数 有理数 无理数虚数有理数 无理数虚数实数数的扩展：实数数的扩展：第一节映射与函数第一节映射与函数*-R一、1.集合:一、1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的具有某种特定性质的事物的总
3、体.组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.数集的分类：数集的分类： N-Z-Q-R-R 自然数集整数集有理数集实数集排除的实数集自然数集整数集有理数集实数集排除的实数集,正实数集正实数集,AB若若)(BA ,2 , 1 A例如：例如：,0232xxxC.AC,AB若若.AB 第一节映射与函数第一节映射与函数一、1.集合一、1.集合: :xA ,xA 若若,xB ,BA且且,BA 且且AB是 的真子集是 的真子集()AB 设A和B是两个集合设A和B是两个集合， 且则必有则称A是B的子集， 记作则称集合A与集合B相等。且则必有则称A是B的子集， 记作则称集合A与集合B相等。空集空集. .)(记作
4、记作例如例如,01,2xRxx规定规定: 空集为任何集合的子集.空集为任何集合的子集.第一节映射与函数第一节映射与函数不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为,AB若若)(BA .AB xA ,xA 若若,xB ,BA且且设A和B是两个集合设A和B是两个集合， 且则必有则称A是B的子集， 记作则称集合A与集合B相等。一、1.集合且则必有则称A是B的子集， 记作则称集合A与集合B相等。一、1.集合: :2、集合的运算A与B的并集2、集合的运算A与B的并集ABA与B的交集A与B的交集AB A与B的差集A与B的差集A B 定义全集定义全集I I，记为A，记为AC C的余集为的余集为 10 xxA
5、 10xxxAC或或第一节映射与函数第一节映射与函数 一、1.集合一、1.集合: : x xAxB或或 x xAxB且且 x xAxB且且IA为A的余集或补集设A和B是两个集合IA为A的余集或补集设A和B是两个集合，集合的并、交、余运算满足下列法则1、交换律2、结合律3、分配律4、对偶律集合的并、交、余运算满足下列法则1、交换律2、结合律3、分配律4、对偶律AB ABBA ()ABC ()ABC ()ABC ()ABC ()CAB ()CAB 第一节映射与函数第一节映射与函数,BA ()ABC()ABC()()ACBC()()ACBC,CCAB CCAB 记为A记为AC CIA为A的余集或补集
6、IA为A的余集或补集设A、B为两个任意集合，设A、B为两个任意集合，AB例如: 例如: RR表示xoy面上全体点的集合直积定义表示xoy面上全体点的集合直积定义第一节映射与函数第一节映射与函数 ( , )yBx yxA且且 ( , )RyRx yx且且集合有并、交、余运算组成一在A中任取一元素x，B中任取一元素y，有序数对(x，y)， 他们全体所组成的集合称为集合A与B的直积，记为: 集合有并、交、余运算组成一在A中任取一元素x，B中任取一元素y，有序数对(x，y)， 他们全体所组成的集合称为集合A与B的直积，记为: 3.1区间:3.1区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之
7、间的全体实数.,.a bRab且且bxax 称为开区间称为开区间,( , )a boxab第一节映射与函数第一节映射与函数一、1.集合（数集）:这两个实数叫做区间的端点一、1.集合（数集）:这两个实数叫做区间的端点.记作记作3.1区间:3.1区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.bxax 称为闭区间称为闭区间, , a boxab第一节映射与函数第一节映射与函数一、1.集合（数集）:这两个实数叫做区间的端点一、1.集合（数集）:这两个实数叫做区间的端点.,.a bRab且且记作记作bxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间, , )
8、a b( , a b,x ax x xb 3.1区间3.1区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点. ,)a (, )b 记作记作记号：记作记作记号： _正无穷大正无穷大第一节映射与函数第一节映射与函数 _负无穷大负无穷大bxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间, , )a b( , a b,x ax x xb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度. ,)a
9、 (, )b 第一节映射与函数第一节映射与函数记作记作记作记作两个闭区间的直积表示两个闭区间的直积表示直积定义直积定义 设A、B为两个任意集合，设A、B为两个任意集合，xoy平面上的矩形区域xoy平面上的矩形区域3.1区间:3.1区间:AcBxoy在A中任取一元素x，B中任取一元素y， 组成一有序数对(x,y),数对全体所组成的集合称为集合A与B的直积。有序AcBxoy在A中任取一元素x，B中任取一元素y， 组成一有序数对(x,y),数对全体所组成的集合称为集合A与B的直积。有序AB BC 3.23.2邻域邻域: :aa ( )Ua xa a a xxa 左邻域左邻域: :),(aa 右邻域右
10、邻域: :),( aa3.1区间:3.1区间:x axa 称为邻域的中心称为邻域的中心；称为邻域的半径称为邻域的半径a数集称为点的邻域数集称为点的邻域 设与是两个实数， 且设与是两个实数， 且 0. 3.23.2邻域邻域: :aa ( )Ua xa a a ,邻域的去心的点邻域的去心的点 axxa ( )o Ua 3.1区间:3.1区间:x axa 0xxa 称为邻域的中心称为邻域的中心；称为邻域的半径称为邻域的半径a数集称为点的邻域数集称为点的邻域 设与是两个实数， 且设与是两个实数， 且 0. 二、映射为映射f的定义域设X、Y为非空集合，二、映射为映射f的定义域设X、Y为非空集合，:fXY
11、:f( )f x 1、映射定义:1、映射定义:X ()f X x为例:为映射f的值域x为例:为映射f的值域（映射f）y的原像,y为x的像（映射f）y的原像,y为x的像fDfR/2,/2 1,1 sin x如果存在一法则f，使得X中每个元素x， 按法则f 在Y中有唯一元素y则f为从X到Y的映射，与之对应，记为：如果存在一法则f，使得X中每个元素x， 按法则f 在Y中有唯一元素y则f为从X到Y的映射，与之对应，记为：为映射f的定义域；设X、Y为非空集合，如果存在一法则f，使得X中每个为映射f的定义域；设X、Y为非空集合，如果存在一法则f，使得X中每个:fXY1、映射定义:1、映射定义:fDX ()
12、fRf X x为（映射f）y的原像,y为x的像为映射f的值域x为（映射f）y的原像,y为x的像为映射f的值域满射：单射：既是满射也是单射满射：单射：既是满射也是单射fRY12()()f xf x 12,xx 一一映射：一一映射： 元素x，按法则f,在Y中有唯一的元素y与之对应，则f为从X到Y的映射，记为若有元素x，按法则f,在Y中有唯一的元素y与之对应，则f为从X到Y的映射，记为若有为映射f的定义域；设X、Y为非空集合，如果存在一法则f，使得X中每个为映射f的定义域；设X、Y为非空集合，如果存在一法则f，使得X中每个:fXY1、映射定义:1、映射定义:fDX ()fRf X 为映射f的值域为映
13、射f的值域映射= 算子泛函-变换-函数-：非空集X到数集Y的映射非空集X到它自身的映射实数集（或子集）X到实数集Y的映射元素x，按法则f,在Y中有唯一的元素y与之对应，则f为从X到Y的映射，记为映射= 算子泛函-变换-函数-：非空集X到数集Y的映射非空集X到它自身的映射实数集（或子集）X到实数集Y的映射元素x，按法则f,在Y中有唯一的元素y与之对应，则f为从X到Y的映射，记为为映射f的定义域；设X、Y为非空集合，如果存在一法则f，使得X中每个为映射f的定义域；设X、Y为非空集合，如果存在一法则f，使得X中每个:fXY1、映射定义:1、映射定义:fDX ()fRf X 为映射f的值域为映射f的值
14、域元素x，按法则f,在Y中有唯一的元素y与之对应，则f为从X到Y的映射，记为单射：元素x，按法则f,在Y中有唯一的元素y与之对应，则f为从X到Y的映射，记为单射：12()()f xf x 12,xx 若有2、逆映射逆映射：若有2、逆映射逆映射：fR f为从X到Y的单射，f为从X到Y的单射， :gXy ,fR有唯一的有唯一的x X使得使得( ),f xy 为f的逆映射：为f的逆映射：2、逆映射2、逆映射:/2,/2f( )sinf xx :gx y 1,1 , /2,/21,1 , arcsin y( )g y 逆映射：逆映射：fR f为从X到Y的单射，f为从X到Y的单射， :gXy ,fR有唯一的有唯一的x X使得使得( ),f xy 为f的逆映射：3、复合映射复合映射：为f的逆映射：3、复合映射复合映射：1:,g XY2:,fYZ21YY )()(x
