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1、近世代数课后习题参考答案近世代数课后习题参考答案第二章第二章 群论群论1 群论群论1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 对于普通乘法来说是一个群.1, 1 G3. 证明, 我们也可以用条件 1,2 以及下面的条件来作群的定义:5 ,4. 至少存在一个右单位元,能让 对于的任何元都成立4Geaae Ga. 对于的每一个元,在里至少存在一个右逆元能让 5GaG,1aeaa1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由 得eaa1eaa1因为由有元能使4Gaeaa1所以)()(111aaaaeaaeaaaeaaaaa
2、1111)(即 eaa1(2) 一个右恒等元一定也是一个左恒等元,意即e由 得 aae aea aaeaaaaaaea)()(11即 aea 这样就得到群的第二定义.(3) 证 可解bax 取bax1bbebaabaa)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到是不困难的.5 ,42 单位元单位元,逆元逆元,消去律消去律1.若群的每一个元都适合方程,那么就是交换群.Gex 2G证 由条件知中的任一元等于它的逆元,因此对有.GGba,baababab111)(2.在一个有限群里阶大于 2 的元的个数是偶数.证 (1) 先证的阶是则的阶也是.an1aneeaaeannn111)()(若有
3、 使 即 因而 这与的阶nmeam)(1eam1)(1 eameama是矛盾.的阶等于的阶naQ1a(2) 的阶大于, 则 若 这与的阶大于矛盾a21 aaeaaa21a2(3) 则 ba 11 ba总起来可知阶大于的元与双双出现,因此有限群里阶大于的元的个数一2a1a2定是偶数3.假定是个数一个阶是偶数的有限群,在里阶等于的元的GG2个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群里的元大于的个数是偶数;因此阶G2的元的个数仍是偶数,但阶是 的元只有单位元,所以阶21的元的个数一定是奇数.24.一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 Ga故 GaaaanmKKK,2由于是有限群,所以这些元中至少有两个
4、元相等:G故 nmaa)(nmeamn是整数,因而的阶不超过它.mn a4 群的同态群的同态假定在两个群和的一个同态映射之下,，和的阶是不是一定相同?G G aaa a证 不一定相同例如 231,231, 1iiG1 G对普通乘法都作成群,且(这里是 GG,1)(xx的任意元, 是的元)G1 G由 可知 G G但 的阶都是.231,231ii3而 的阶是 .115 5 变换群变换群1.假定是集合的一个非一一变换,会不会有一个左逆元,使得?11证 我们的回答是回有的, 3 , 2 , 1KA: 11 111221 23 32 3443 45 显然是一个非一一变换但 12.假定是所有实数作成的集合
5、.证明.所有的可以写成是有理数,AAbabaxx,形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群?0a证 (1) :baxx:dcxx:dcbcaxdbaxcx)(是有理数 是关闭的.dcbca,0caQ(2)显然时候结合律(3) 则 1a0b:xx (4) :bax )(1:1 abxax而 所以构成变换群.1又 : 11 xx:2xx2:21 ) 1(2xx:1212 xx故因而不是交换群.12213. 假定是一个集合的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号: SA)(aaa来说明一个变换.证明,我们可以用: 来规定一个的21)()(2121aaaS乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这
6、个乘法来说还是的单位元.S证 :1)(1aa:2)(2aa那么 :21)()(2121aaa显然也是的一个变换.A现在证这个乘法适合结合律:)()(:)(321321aa)(321a)(: )(321321aa)(321a故 )()(321321再证还是S的单位元: )(aaa:)()(aaa:)()(aaa4 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。证 设是是变换群的单位元G，是变换群，故是一一变换，因此对集合GG的任意元，有的元，AaAb:)(bab=)()(aaabb)()(Qaa )(另证 )()(1xx根据习题知. 7 . 13xx )(1xx )(5.证明实数域上一切有逆的矩阵乘法来
7、说，作成一个群。nn证 =实数域上一切有逆的矩阵Gnn则是的逆GBA,11ABAB从而 GBA,对矩阵乘法来说，当然适合结合律且（阶的单位阵） 是的单位元。GEnG故 作成群。G6 6 置换群置换群1. 找出所有的不能和交换的元.3S)(123231证 不能和交换的元有 这是难验证的.3S)(123231)(),(),(123 321123 213123 1322.把的所有的元写成不相连的循环置换的乘积3S解: 的所有元用不相连的循环置换写出来是:3S(1), (12), (13), (23), (123), (132).3. 证明:(1) 两个不相连的循环置换可以交换(2) )()(111
8、21iiiii ikkkKL证(1) =)(121mkkiiii iLL)(11211132nmmkknmmkiiiiiii iiiiiiLKL LKK)(12121113221nmmkkknmkkkkiiiiiiiiiiiiiiiiKKKKLL =()(121211132132niiiiiiii iiiiiiiinmmkkkmkkkKL KKL又 )=mkkiiiL21()(21kii iL)(12121113221nmmkkknmkkkkiiiiiiii iiiiiiiiKLL LLL)(112111132nmmkknmmkiiiiiii iiiiiiiLLL LLL=,故)(121211
9、132132nmmkkknmkkkiiiiiiii iiiiiiiiLLL LLK)()(211121kmkmkkii iiiiiii iLLLL(2) ,故.)()(11121iiiiii ikkkLL)()(111 21iiiii ikkkKL3.证明一个 K 一循环置换的阶是 K.证 设)()(2113221kiii iiikii iL LL)(1232kii iiK L)(1111kkii iikL L)()(111ikkii iikL L设, 那么 kh)()(111ikhhii iih L L证明的每一个元都可以写成这个循环置换nS)1 ( ,),13(),12(nL1n中的若干个
10、乘积。证 根据定理。的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积. 6 . 2nS而我们又能证明)()()(1312121kki ii ii iii iLL同时有, 这样就得到所要证明的结论。)1)(1)(1 ()(111iiii ill则 )(1132nii iiL L)(1111kkii iiL L7 7 循环群循环群1 证明 一个循环群一定是交换群。证 ，)(aGmaGan则mnmnnmnmaaaaaa2 假设群的元的阶是，证明的阶是这里是和的最大公因子anradn),(nrd rn证 因为 所以而 dnr),(,11dnndrr1),(11nr3.假设生成一个阶是的循环群。anG证明也
11、生成，假如(这就是说和互素)raG1),(nrrn证 生成一个阶是的循环群，可得生成元的阶是，这样利用上题即得所证，anGan或者，由于有1),(nr1tnsr即 nrtnsrtnsraaaaa)()(raa故raa)()(4 假定是循环群，并且与同态，证明也是循环群。GG G G证 有 2。4。定理 1 知也是群，G设 且(是同态满射) G aa)(则存在使 因而 GbGb bb)(kab G G故 即 k kaa )(k ab )(因而 即 =（）k ab 5假设是无限阶的循环群，是任何循环群，证明与同态。G GG G证 ）设是无限阶的循环群， G令)(aG )( aG aa )(且)()
12、()( aaaaaaasss s所以G G）设而的阶是。)( aG an令： 当且只当,11k haa 111knqh易 知是到的一个满射nk 10G G12k haa 222knqhnk 20设则knqkk21212121)(kkqqnhhkqqqn)(21那么 k hhaaa 212121kkkkqkq aaaaa G G8 8 子群子群1找出 S3 的所有子群证 S3=的子群一定包含单位元。)132(),123(),23(),13(),12(),1 () 1 (）S3 本身及只有单位元都是子群) 1 (）包含和一个 2 一循环的集合一定是子群因) 1 () 1 ()(),()(1 (2i
13、jijij=， =， =亦为三个子群2H)12(),1 (3H)13(),1 (4H)23(),1 (）包含及两个 3循环置换的集合是一个子群) 1 (， =是子群，有以上 6 个子群，)()(2ijkijk) 1 ()(ikjijk5H)132(),123(),1 (3S今证只有这 6 个子群，）包含及两个或三个 2循环置换的集合不是子群因不属于此集) 1 ()()(ijkikij合)若一集合中 3循环置换只有一个出现一定不是子群因)()(2ikjijk)一个集合若出现两个 3循环置换及一个 2循环置换不是子群因)()(ikijkij）3循环置换及 2循环置换都只有两个出现的集合不是子群因若出现 则)(),(ikij)(0)(jkijkij故有且只有 6 个子群。3S2.证明；群的两个子群的交集也是的子群。GG证是的两个子群，21,HHG21HHHI显然非空 则 同时HHba,1,Hba2,Hba因是子群，故，同时2, 1HH11Hab 21Hab所以11HabHH 2I故是的子群HG3取的子集，生成的子群包含哪些个元？一个群的两个不同的3S)123(),12(SS子集不会生成相同的子群？证 S) 1 ()12(2S)132()123(2S)13()123)(12(
