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1、论文写作指导：QQ625880526 论文资源网 最专业的毕业论文、设计资源分享、下载平 台目 录摘要.IAbstract.I引言.12 利用 Schmidt 正交化求矩阵的 QR 分解.13 利用 Householder 变换求矩阵的 QR 分解.44 利用 Givens 变换求矩阵的 QR 分解.75 利用初等变换求矩阵的 QR 分解.106 矩阵 QR 分解的应用.12参考文献.13结束语.13致谢.14论文写作指导：QQ625880526 论文资源网 最专业的毕业论文、设计资源分享、下载平 台摘要：矩阵是数学研究中一类重要的工具之一，有着非常广泛的应用，矩阵分解对矩阵理论及近代计算
2、数学的发展起了关键作用矩阵的 QR 分解可以利用 Schmidt 正交化、Householder 矩阵变换、Givens 矩阵变换以及矩阵的初等变换等方法进行本文给出了这几种方法的证明及简单的应用关键词：QR 分解;Schmidt 正交化、Householder 矩阵变换、Givens 矩阵变换、初等变换Abstract：The matrix is a important tool in class of mathematical research, and it has a very wide range of applications plays a key role in matrix
3、theory and development of modern computational mathematics. The methods of matrix QR decompose have such as Schmidt orthogonalization method, Householder matrix transformation, Givens matrix transformation and elementary transformation to matrix. in this paper , the proof of these methods and simple
4、 applications.Key words： QR decompose; Schmidt orthogonalization; Householder matrix transformation; Givens matrix transformation; elementary transformation11 引言如果实非奇异矩阵 A 能够化成正交矩阵 Q 与实非奇异上三角矩阵 R 的乘积，即A=QR (1) 则称（1）为 A 的 QR 分解矩阵的 QR 分解是一种特殊的三角分解，在解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要的作用，而且得到他们的精确解非常重要，但其计算一直是很繁琐
5、的数学问题特别是当矩阵的阶数较高时，计算量非常大，且不易求其精确解时，故在工程技术上，用 QR 分解可以得到其在某一精度水平上的近似解QR 分解也是特征值算法及 QR 算法的基础下面给出 4 种求求矩阵QR 分解的方法及一个简单的应用，以加强对 QR 分解思想及方法的深刻理解2 利用 Schmidt 正交化求矩阵的 QR 分解定理 11 设，则可以唯一地分解为1nn nRAAQRA 其中是正交矩阵，是实非奇异上三角矩阵QR证明 设，则，是线性无关的naaaA,21L1a2aLna用 Schmidt 方法将，正交化，得1a2aLna，21ab ，12122bkabL11,21nnnnnnbkbk
6、abL其中 ， jjji ijbbbak,ij 将上式改写为，11ba 2，21212bbkaLnnnnnnnbbkbkbka11,2211L记，ii ibbq ni, 2 , 1L，0iiibrni, 2 , 1L则上述各式可以写成，11qraii，2221212qrqraLnnnnnnqrqrqraL2211于是nqqqQRA, 21,LnnnnrrrrrrLLLLLLL00022212111显然，是正交矩阵，是实非奇异上三角矩阵QR接下来证明这种分解的唯一性设有两个分解式：，则ARQQRARRQQ11所以，既是正交举证有是实非奇异上三角矩阵，又易知：既是正交举证有QQ1是实非奇异上三角矩
7、阵只能是单位矩阵，即有IRRQQ11于是，根据逆矩阵的唯一性知，QQ RR 注 由上述证明过程可得3，KbbbdiagRn,21L其中，1112121MOLLnn kkkK例 1 试求矩阵的分解 121212221 AQR解 令，1 , 2 , 11a2 , 1 , 22a1 , 2 , 23a经过 Schmidt 正交化，得，1 , 2 , 111ab，1 , 1, 1122bab，1, 0 , 121 31 672133bbab令，21 31 61031 6221 31 61Q由注得： 2136 R13116711213136766则421 31 61031 62201 31 61QRA2
8、13136766利用相同的证明思路，定理 1 可以推广位为列满秩矩阵的情形A定理 12 设，则可以唯一的分解为其中是 2rm rRAAQRA Q实矩阵，满足，是实非奇异上三角阵，容易看出rmRAQRQQ3 利用 Householder 变换求矩阵的 QR 分解定义 21 设且，称为 Householder 矩阵，由 3nRu12uuuIH2Householder 所确定的变换称为 Householder 变换Householder 矩阵有如下性质：（1） （对称矩阵）HH（2） （正交矩阵） HH（3） （对合矩阵）2H（4） （自逆矩阵）HH1（5）是阶 Householder 矩阵 HIr
9、00rn（6） 1detH定理 22 设为非零列向量，为单位列向量，则存在 4nRxnRZ Householder 矩阵，使得HHxzx2证明 当时，取单位列向量满足，则有zxx u0xu zxxxuuxxuuIHx22当时，取 则有zxx zxxzxxu5x zxxzxxzxxIHx222,2 zxxzxxxzxxx zxxxzx这里利用了等式 xzxxzxx,22定理 23 利用 Householder 变换证明任意都可以进行 QR 分 5rn nRA解证明 将进行列分块，即，由定理知，存在阶AnaaaA,21L4nHouseholder 矩阵，使得，则1H1111eaH式中 00*111
10、 nBAHLL11 1 nn nRB再将按列分块，即同理，有阶 Householder1nB1211,nnbbbBL1n矩阵，使得，其中则有阶 Householder2H1212ebH1 10 , 0 , 1nReLn矩阵，使得 22001 HH 22112 00*0*nCAHHLL式中：同理，继续上述步骤，则在第步有22 2 nn nRC1nRAHHHnn OL*11216由于皆为 Householder 矩阵，则有，其中1, 2 , 1niHkLQRA 为正交矩阵，为上三角矩阵121nHHHQLR例 2 利用 Householder 变换求矩阵的分解 110133044 AQR解 由的第一列，利用 Householder 变换公式得A0 , 3 , 4，100054 53053 541H则110540053551AH再对的第一列做 Householder 变换，得11540 1 , 0, 011
