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1、第五章 例例 5-1 已知一控制系统结构图如图 5-61 所示，当输入 r(t) = 2sint 时，测得输出 c(t) =4sin(t45)，试确定系统的参数 ，n。 解 系统闭环传递函数为2222)(nnn sss系统幅频特性为22222224)()( nnnj 相频特性为222arctan)(nn由题设条件知c(t) = 4sin( t 45)=2 A(1) sin(t + (1) 即122222224)() 1 (nnnA2 4) 1(22222 nnn1222arctan) 1 (nn4512arctan2 nn 整理得4) 1(422224 nnn122nn解得n = 1.244
2、= 0.22 例例 5-21系统的传递函数为) 1)(1()(212sTsTsksG试绘制系统概略幅相特性曲线。 解 (1) 组成系统的环节为两个积分环节、两个惯性环节和比例环节。 (2) 确定起点和终点)1)(1 ()()1 ()(22 222 12212 21 TTTTjkTTkjG )(lim 0 jGRe )(lim 0 jGIm由于 ReG(j)趋于的速度快，故初始相角为180。终点为0)(lim jG 360)(lim jG(3) 求幅相曲线与负实轴的交点 由 G(j)的表达式知， 为有限值时， ImG(j) 0，故幅相曲线与负实轴无交点。 (4) 组成系统的环节都为最小相位环节，
3、 并且无零点，故()单调地从180递减至 360。作系统的概略幅相特性曲线如图 5-62 所示。 例例 5-22 已知系统传递函数为)5 . 0)(2()52(10)(2sssssG试绘制系统的概略幅相特性曲线。 解 (1) 传递函数按典型环节分解) 15 . 0)(12() 1)5(51251(50 )(2 ssss sG(2) 计算起点和终点50)(lim 0 jG10)(lim jG相角变化范围 不稳定比例环节50：180 180 惯性环节 1/(0.2s+1)：0 90 不稳定惯性环节 1/(2s1)：0 +90 不稳定二阶微分环节 0.2s20.4s1：0 180 (3) 计算与实轴
4、的交点22222)5 . 1 () 1()5 . 11)(25(10)(jjjG2222222)5 . 1 () 1()5 . 35 . 5(3) 1)(5(10 j令 ImG(j) = 0，得254. 15 . 3/5 . 5xReG(jx) = 4.037 (4) 确定变化趋势 根据 G(j)的表达式，当 x 时， ImG(j) 0。作系统概略幅相曲线如图 5-63 所示。例例 5-23 系统的开环传递函数为) 1)(1()(21sTsTsNsG试用奈氏判据判断系统的稳定性。 解 (1) 绘制系统的开环概略幅相曲线 组成系统的环节为一个积分环节、两个惯性环节和比例环节。 确定起点和终点)1
5、)(1 ()1 ()()(22 222 1212 21 TTTTjNTTNjG)()(lim210TTNjGRe )(lim 0 jGIm0)(lim jG 270)(lim jG 求幅相曲线与负实轴的交点 令 ImG(j) = 0，得21/1TTx2121)(TTTNTjGRxe 组成系统的环节都为最小相位环节，并且无零点，故()单调地从90递减至 270。作系统的概略幅相特性曲线如图 5-64 所示。 (2) 用奈氏判据判断系统的稳定性 由于组成系统的环节为最小相位环节，p = 0；且为 1 型系统，故从 = 0 处补作辅助 线，如图 5-64 虚线所示。当时，即，幅相特性曲线不包围(1，
6、j0)点，所以闭环系统12121TTTNT2121 TTTTN是稳定的。当时，即，幅相特性曲线顺时针包围（1，j0）点 1 圈，R 12121TTTNT2121 TTTTN= 1，z = p 2R = 2 0，所以系统是不稳定的。 例例 5-24 单位反馈控制系统开环传递函数21)(sassG试确定使相位裕度 = 45的 a 值。解 01)(lg20)(22 ccaLc4 = a2c 2 + 145180)arctan(180caac = 1 联立求解得42c84. 02/14a例例 5-25 最小相位系统对数幅频渐近特性如图 5-65 所示，请确定系统的传递函数。解 由图知在低频段渐近线斜率
7、为 0，故系统为 0 型系统。渐近特性为分段线性函 数，在各交接频率处，渐近特性斜率发生变化。 在 = 0.1 处，斜率从 0 dB/dec 变为 20dB/dec，属于一阶微分环节。 在 = 1处，斜率从 20 dB/dec 变为 0 dB/dec，属于惯性环节。 在 = 2处，斜率从 0 dB/dec 变为20 dB/dec，属于惯性环节。 在 = 3处，斜率从20 dB/dec 变为40 dB/dec，属于惯性环节。在 = 4处，斜率从40 dB/dec 变为60 dB/dec，属于惯性环节。 因此系统的传递函数具有下述形式) 1/)(1/)(1/)(1/() 11 . 0/(4321s
8、ssssKsG）式中 K，1，2，3，4待定。 由 20lgK = 30 得 K = 31.62。确定1： 所以 1 = 0.3161 . 0lglg 3040201确定2： 所以 2 =82.544lg100lg0560确定3： 所以 3 =34.8134lglg20540确定4： 所以 4 =3.48123lglg402020于是，所求的传递函数为) 154.82/)(181.34/)(1481. 3/)(1316. 0/() 11 . 0/(62.31(ssssssG）例例 5-26 某最小相位系统的开环对数幅频特性如图 5-66 所示。要求： (1) 写出系统开环传递函数； (2) 利
9、用相位裕度判断系统稳定性； (3) 将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。解 (1) 由系统开环对数幅频特性曲线可知，系统存在两个交接频率 0.1 和 20，故) 120/)(11 . 0/(sssksG）且 010lg20k得 k = 10所以 ) 120/)(11 . 0/(10(ssssG）(2) 系统开环对数幅频特性为32 20lg201lg2010lg20(）L20201.01.0从而解得 c = 1 系统开环对数相频特性为20arctan1 . 0arctan90)(c) = 177.15 =180 (c) = 2.85 故系统稳定。 (3) 将系统开环对数幅频
10、特性向右平移十倍频程，可得系统新的开环传递函数) 1200)(1(1000(1 ssssG）其截止频率c1 =10c =10 而15.177200arctanarctan90)(1 111c cc 1 =180+ 1(c1) = 2.85 1 = 系统的稳定性不变。 由时域估计指标公式ts = k /c 得 ts1 = 0.1ts 即调节时间缩短，系统动态响应加快。由) 1sin1(4 . 016. 0pM得 Mp1 = Mp 即系统超调量不变。 例例 5-27 单位反馈系统的闭环对数幅频特性分段直线如图 5-67 所示。若要求系统具有 30的相位裕度，试计算开环放大倍数应增大的倍数。解 由闭
11、环对数幅频特性曲线可得系统闭环传递函数为) 15)(125. 1)(1(1( ssssG）因此系统等效开环传递函数)(1)(sssG ）)425. 4)(825. 2(25. 6 sss) 1425. 4)(1825. 2(5 . 0sss其对数相频特性为425. 4arctan825. 2arctan90(）若要求(1) = 150，可得1 = 2.015 系统对数幅频特性曲线为aaakkkL32 25. 6lg204125. 1lg205 . 0lg20(）425. 4425. 4825. 2825. 2要使系统具有 30相角稳定裕度，1应为截止频率，有15 . 01ak则 ka = 4.
12、03 故系统开环放大倍数应增大 4.03 倍。 例例 5-28 系统开环传递函数为) 18 . 02 . 0(10)(2ssssG试用奈氏判据判断系统的稳定性。 解 将传递函数按典型环节分解) 1)(12 . 0(10)(ssssG)04. 01)(1 ()2 . 01 (8 . 010)(222jjG幅相曲线的起点和终点 270)(lim 0 jG 2700)(lim jG8)(lim 0 jGRe当为有限值时，ImG(j) 0，幅相曲线与负实轴无交点。由于惯性环节的时间常数 T1 = 0.2，小于不稳定性环节的时间常数 T2 = 1，故()呈现先增大后减小的变化。作系统 开环幅相曲线如图
13、5-68 所示。 由于 =1，故需从幅相曲线上 = 0 的对应点起，逆时针补画半径为无穷大的/2 圆弧。 由系统开环传递函数知，s 右半平面系统的开环极点数 p =1，而幅相曲线起于负实轴，且 当 增大时间上离开负实轴，故为半次负穿越，N = 1/2。于是 s 右半平面的闭环极点数z = p 2N = 2 表明系统闭环不稳定。 例例 5-29 系统开环频率特性分别为如图 5-69 的(a)和(b)所示，试判断闭环系统的稳定 性。解 (a)图给出的是 (-，0)的幅相曲线，而 (0，+)的幅相曲线与题给曲线 对 称于实轴，如图 5-70 所示。因为 = 1，故从 = 0 的对应点起逆时针补作/2，半径为无穷 大的圆弧。在(1，j0)点左侧，幅相曲线逆时 针、顺时针各穿越负实轴一次，故 N = N = 1N = N N = 0 因此，s 右半平面的闭环极点数z = p 2N = 0 闭环系统稳定。(b) 因为 = 2，故如图(b)中虚线所示在 对数相频特性的低频段曲线上补作 2.90的垂线。 当 c时，
