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1、知知识识改改变变命运，学命运，学习习成就未来成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱： 第 1 页 共 15 页20092010 学年度高三数学（人教版 A 版）第一轮复习资料第二讲 函数概念与表示函数概念与表示一一 【课标要求课标要求】1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此 基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了 解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念； 2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法） 表示函数； 3通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应
2、用； 4通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意 义；结合具体函数，了解奇偶性的含义； 5学会运用函数图象理解和研究函数的性质 二二 【命题走向命题走向】 函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历 年的高考中都占据相当大的比例。 从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于 函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变 量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。 高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相
3、对较 小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大 预测 2010 年高考对本节的考察是： 1题型是 1 个选择和一个填空； 2热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成 为新的热点。 三三 【要点精讲要点精讲】 1函数的概念： 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个 数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作：y=f(x)，xA。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义 域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函
4、数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域。 注意：（1） “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)” ； （2）函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是 f 乘 x 2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 （1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：自然型：指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围（如：分式函数的分母不为 零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等） ； 限制型：指命题的条件或人为对自变量 x 的限制，这是函数学习中重点，往往也是 难点，因为有时
5、这种限制比较隐蔽，容易犯错误； 实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量 x 的实际意义。 （2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单 函数的值域问题 配方法（将函数转化为二次函数） ；判别式法（将函数转化为二次方程） ；不等知知识识改改变变命运，学命运，学习习成就未来成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱： 第 2 页 共 15 页式法（运用不等式的各种性质） ；函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函 数图象等） 。 3两个函数的相等： 函数的定义含有三个要素，即定义域 A、值域 C 和对应法则 f。当函数的定义域及从定 义域到
6、值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为 函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数 才是同一个函数。 4区间 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示 5映射的概念 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f：AB” 。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任
7、意两个非空集合” ，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应 就叫映射。 注意：（1）这两个集合有先后顺序，A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的其中 f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。 （2） “都有唯一”什么意思？ 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思 6常用的函数表示法 （1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的 解析表达式，简称解析式； （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系 7分段函数 若一个函数的定义域分成了若干
8、个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又 称分段函数； 8复合函数 若 y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么 y=fg(x)称为复合函数，u 称为中间变量， 它的取值范围是 g(x)的值域 四四 【典例解析典例解析】 题型 1：函数概念例 121.（2009 天津卷文）设函数 0, 60, 64)(2xxxxxxf则不等式) 1 ()(fxf的解集是（ ）A.), 3() 1 , 3( B.), 2() 1 , 3( C.), 3() 1 , 1( D.)3 , 1 ()3,(答案 A知知识识改改变变命运，学命运，学习习成就未来成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰
9、厚 邮箱： 第 3 页 共 15 页解析 由已知，函数先增后减再增当0x，2)(xf3) 1 (f令, 3)(xf解得3, 1xx。当0x，3, 36xx故3) 1 ()( fxf ，解得313xx或【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解（2）江苏省如皋中学 20072008 学年度第二学期阶段考试高三数学（理科） 请设计一个同时满足下列两个条件的函数 y = f （x）：图象关于 y 轴对称；对定义域内任意不同两点12xx、, 都有12 12()()2 ()2xxf xf xf答： .答案不唯一，在定义域内图象上凸的偶函数均可，如2( ),( )cos (
10、),( )|tan|()2222f xxf xxxf xxx 等等.首先由知 f （x）为偶函数，由知 f （x）在定义域内图象上凸，然后在基本初 等函数中去寻找符合这两点的模型函数【总结点评】本题主要考查函数的图象与性质，问题以开放的形式出现，着重突出对考生 数学素质的要求.点评：讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧（赋值、变量代换、换元等等） ，这 都是函数学习的常用基本功变式题：（2009 北京文）已知函数3 ,1,( ),1,xxf xxx若( )2f x ，则x . 答案 3log 2解析 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值. 属于基础知识、基本运算的考 查.由31lo
11、g 232xxx，1 22x xx 无解，故应填3log 2.例 2 （2007 安徽 文理 15）（1）函数 f x对于任意实数x满足条件 12f xf x，若 15,f 则 5ff_ _；知知识识改改变变命运，学命运，学习习成就未来成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱： 第 4 页 共 15 页（2）函数 f x对于任意实数x满足条件 12f xf x，若 15,f 则 5ff_。解：（1）由 12f xf x得14( )2f xf xf x，所以(5)(1)5ff ，则 115( 5)( 1)( 12)5fffff 。（2）由 12f xf x得14( )2f xf xf x，所
12、以(5)(1)5ff ，则 115( 5)( 1)( 12)5fffff 。点评：通过对抽象函数的限制条件，变量换元得到函数解析式，考察学生的逻辑思维 能力。 题型二：判断两个函数是否相同 例 3试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=2x，g（x）=33x；（2）f（x）=xx|，g（x）= ; 01, 01 xx（3）f（x）=1212nnx，g（x）=（12 nx）2n1（nN*） ；（4）f（x）=x1x，g（x）=xx 2；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。解：（1）由于 f（x）=2x=|x|，g（x）=33x=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它
13、们不是同一函数；（2）由于函数 f（x）=xx|的定义域为（，0）（0，+） ，而 g（x）= ; 01, 01 xx的定义域为 R，所以它们不是同一函数；（3）由于当 nN*时，2n1 为奇数，f（x）=1212nnx=x，g（x）=（12 nx）2n1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；（4）由于函数 f（x）=x1x的定义域为x|x0，而 g（x）=xx 2的定义域为x|x1 或 x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；知知识识改改变变命运，学命运，学习习成就未来成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱： 第 5 页 共 15 页（5）函数的定义域、值
14、域和对应法则都相同，所以它们是同一函数 点评：对于两个函数 y=f（x）和 y=g（x） ，当且仅当它们的定义域、值域、对应法则 都相同时，y=f（x）和 y=g（x）才表示同一函数头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。 （1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头要知道，在函数的定义域及对应法则 f 不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母 的表达式，这对于函数本身并无影响，比如 f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1 都可视为同一函数。 （2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数 题型三：函数定义域问题 例 4求下述函数的定义域：（1）02 )23() 12lg(2)(xxxxxf；（2）).lg()lg()(22axkaxxf解：（1）
